读《数学的天空》有感
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作者 | 林开亮
注：本文为第一届和乐杯数学科普大赛参赛作品，未经授权不得转载。
读《数学的天空》让我想起很久之前的一段经历。大学以前，我读过的文章几乎都是语文教材上的文章，等到大学我才读到一些现代的作品，如金庸、余华、冯唐、余秋雨、范曾、王小波的小说文章，这为我敞开了一个世界。我认识到，文章的写法不止一种，并开始尝试写作（当然是不成功的，不过培养了我的写作爱好）。同样的，我也是在大学才知道，原来除了教材——我敢说它们大部分都语言无味、面目可憎简直要人神共愤——还有许多读起来赏心悦目如含英咀华甘之如饴的数学书，比如 R. Courant 与 H. Robbins 的《数学是什么？》。
《数学的天空》给我的感觉，有点像金庸的小说，作者文笔行云流水，思绪天马行空，读起来畅快淋漓，一个字：爽。考虑到可能有不少读者是向往这种体验的，所以我简单介绍一下这本书，让你先有个大致了解。
《数学的天空》的作者是上海交通大学数学院的三位老师：张跃辉、李吉有和朱佳俊，其蓝本是张跃辉老师在上海交通大学开设的同名通识核心课程“数学的天空”的讲义（课程主页见 http://math.sjtu.edu.cn/course/heavens_of_math/）。照我的理解，作者是要带领读者畅游“数学的天空”，见识一下绚丽多彩的数学世界的顶尖成就。作者选取了近代数学的三大顶尖数学成就：费马大定理、黎曼假设和庞加莱猜想。它们分别作为本书第三、四、五章的主题。由此可以看出，作者非常注重纯数学领域的成就，费马大定理属于数论，庞加莱猜想属于拓扑，而尚未解决的黎曼假设虽然还说不清究竟属于数论还是分析，但说它属于纯数学应该没有争议。可以想见，在通识课程中普及 20 乃至 21 世纪的这些顶尖数学成就充满了机遇和挑战，作者抓住了机遇，迎接了挑战，取得很大的成功。该书出版一年半内三次印刷并获得上海交通大学 2019 年教学成果特等奖，作者已应邀在 30 余所大学做了《数学的天空》的相关报告。他们是怎样做到的呢？我觉得有几点特别值得借鉴。
一、基础铺垫。所谓万丈高楼平地起，在前两章，作者就做好了铺垫，让读者对近代数学有了一定了解，从而领会到近代数学的精神。一个鲜明的例子，是第一章从“偶数集”与“整数集”哪个集合的元素个数更多引出“一一对应”，进而到康托尔的集合论，这就是典型的近代数学。毫无疑问，康托尔的最大基数不存在定理就充分体现了近代数学的风味。它完全不同于中小学里的数学（它们一般都是 1700 年以前的数学，以纯计算为主），在这里，一旦你理解了所涉及的概念，就不难领会其要点（在这里，还有著名的康托尔对角线技巧）。如果一本数学普及书引用的基本结果都是 19 世纪以前的，那么读者基本上就接触不到近代数学了。康托尔(1845--1918)的这个定理及其证明，是近代数学中的一个光辉例子，而且是我们很容易理解的一个例子。作为其基础的“一一对应”概念，为我们比较两个集合的大小提供了一种全新的观念：在从前，“偶数集”作为“整数集”的子集，极有可能会认为前者小后者大；而在“一一对应”的观念下，这两个集合其实是一样大的。要了解近代数学，就要了解近代数学的种种观念。第二章所铺垫的近代数学观念，是结构的观念，由法国的布尔巴基学派在 20 世纪三四十年代最先明确提出，这一观念几乎已经在纯数学领域内一统天下了。最常见的结构有代数结构（如加减乘除四则运算）、序结构（可定义大小关系）、拓扑结构（可定义邻近关系）。结构的思想，简而言之，就是我们不是泛泛地考虑一个集合里的各个元素，而是在集合上赋予一个有意义的关系，在此关系下研究这个集合。最简单的一个例子，比如说，对正整数集，考虑除法运算，我们可以定义出整除关系，以此为出发点研究正整数集，其实就是初等数论。例如，我们知道素数是初等数论的一个基本概念，其实它就可以通过整除关系来刻画（作为第 2 章的头一个结果，作者给出了素数的这个特征）。再如，在大学本科的公共课程中，最能体现结构思想的，是线性代数。在这里，集合是向量空间（注意它通常用公理化给出，公理化本身就是结构的常见表现形式），基本的关系可以视为线性组合。如果在向量空间中进一步定义内积，那么就可以考虑向量的长度，两个向量之间的夹角，这就引出了欧氏空间的几何。因此，结构的观念，可以帮助我们更好地理解和组织数学。也许结构的思想未必能统领所有的数学，但它取得了前所未有的成功，在近代数学上留下了深深的烙印。例如，布尔巴基学派以此为指导思想编写了卷帙浩繁的《数学原理》丛书。再举一个简单的例子，要理解为何“负负得正”（这是书中穿插的诸多有趣练习题之一），一个很合理的解释就用到结构的观念：加法与乘法满足“分配律”所致。从这个例子可以看出，哪怕是为了更好地理解再简单不过的初等数学，我们都有必要了解近代数学的观念和精神。作为体现近代数学前沿成就的一个例子，作者选取了普林斯顿大家数学家康威及其弟子史尼伯格 1993 年发现的“15 定理”，这是初等数论中经典的拉格朗日四平方和定理(1770 年）的一个深远推广。作者在前两章通过具体的例子让读者了解了近代数学的一些观念，从而为读者进入后三章的各个主题做好心理上的准备。所谓“几何无御道”，绝无可能一步登天到“数学的天空”，读者如果用心读完前两章，就有基础随作者一起“上九天揽月”了。
二、历史引导。作者选取的三个主题都是历史上的著名难题，像费马大定理历经 350 多年才被证明，庞加莱猜想也经历近一个世纪才被证明，而黎曼假设从 1859 年提出至今尚未解决。这些问题促进了数学几百年来的发展，特别是费马大定理，在数论的历史发展中占据着极重要的位置。作者藉着这些主题，引出了数论与代数、分析与计算、拓扑与几何的辉煌历史。就我个人感觉，三个主题中，作者对费马大定理的介绍最到位，我想一个可能的原因是，数论的历史最为悠久，许多大数学家都在数论中做出贡献。说到这里，请容许我插一句题外的话。1967 年，法国布尔巴基的灵魂人物韦伊(Weil)出版了一本书，名叫“Basic Number Theory”，书中列出了一个“年谱表”，排出了对这本《基础数论》中的选题做出最重要贡献的数学家，一共有 20 位，他们是：费马、欧拉、拉格朗日、勒让德、高斯、狄利克雷、库默尔、厄尔米特、爱森斯坦、克罗内克、黎曼、戴德金、韦伯、亨泽尔、希尔伯特、高木贞治、海克、阿廷、哈塞和谢瓦莱。你可以认为，这是韦伊在 1967 年给出的数论“封神榜”。这 20 位大数学家，在《数学的天空》中几乎都提到了，这几乎是必然的：他们属于数学天空中最耀眼的群星。全书中只给出了四位数学家的肖像，分别是高斯（第 2 章）、费马（第 3 章）、黎曼（第 4 章）和庞加莱（第 5 章）。前三位都在数论“封神榜”，而且费马实际上是近代数论的创始人（这也许与大众眼里的业余数学家印象大相迥异）！光是看到这些光辉的名字，就足以让喜爱数学的读者心动不已。虽然这些数学家并非都是为了攻克费马大定理而研究数论，但他们所发展的理论促进了数论这门学科的整体发展，最终促成了费马大定理出人意料的解决。在这过程中，一个决定性的事件是志村--谷山--韦伊猜想的提出，它从整体上改变了数论的进程。朗兰兹从这一猜想出发，引出了著名的朗兰兹纲领，现已发展成为纯数学的主流之一；泰勒等人则最终证明了志村--谷山--韦伊猜想。韦伊固然已经羽化升仙，朗兰兹、怀尔斯、泰勒等则还续写着数论的传奇。也许你现在会有疑问，有没有华裔的数论大家呢？当然有，在第 2 章介绍素数时，作者就提到了张益唐、陶哲轩的杰出成就。(也许还可以在适当的地方介绍一下张寿武及其学派的突出贡献，他们与数论主流的脉搏更一致——“数风流人物，还看今朝。”）对于庞加莱猜想的历史介绍，我觉得相对逊色一些，可能是我自己理解不够吧。不过我看书后罗列的主要参考文献（该书大多数参考文献都在引用页用脚注标出以方便读者），关于这个主题的也只有两本参考书，所以我想作者可能也未做足功夫。不过毫无疑问，庞加莱猜想比费马大定理要难理解，光是猜想陈述中的单连通概念就不简单了。换言之，对于这个主题，从一开始就要求读者具有现代数学的基础。就我个人来说，我倒是觉得极有必要，因为几何与拓扑的视角与观念——它们本身比庞加莱猜想更重要——对于理解这个世界来说太重要了。最简单的一个例子，是爱因斯坦（毫无疑问，他是 20 世纪最伟大的物理学家）的相对论就基于高斯开创、黎曼发展的微分几何。一个后来居上的例子，是由外尔开创进一步为杨振宁与米尔斯所发扬光大的规范场论，最终表明其数学基础乃几何拓扑中的纤维丛。几何拓扑中的最基本观念，为回答物理学中的一些微妙问题提供了关键。比方说，我们知道，电磁理论中电与磁是对偶的，我们曾观测到电子，那么有没有磁子（磁单极）呢？1931 年，英国物理学家狄拉克研究了这一问题，指出，如果存在磁子，那么就可以解释电荷的量子化。后来发现，他的讨论本质上就等价于纤维丛中的一个基本结果——该结果恰好也有同年由瑞士几何拓扑学家霍普夫发表。就个人兴趣来说，我倒是希望了解这种与理论物理密切关联的几何拓扑，也许作者在以后的课程中可以考虑。之所以这样建议，还有一个原因，庞加莱猜想其实有其特殊性，它在高维的版本是相对容易证明的，而在低维的情形非常困难，因为对各个维数和版本的庞加莱猜想的工作而成为菲尔兹奖得主的有三四个，但没有人给出一个对所有维数都有效的证明。所以，不同于费马大定理中间有极统一的理论（如志村--谷山--韦伊猜想），庞加莱猜想更多地属于低维拓扑这个极微妙的特殊领域。至于黎曼假设，由于它至今仍未解决，对它的介绍固然是引人注目，但从历史的观点来说可能为时尚早——考虑到看似简单的费马大定理历经了 358 年才被证明，而今天距黎曼 1859 年提出其假设才 160 年而已——说不定以后出现一个类似于志村--谷山--韦伊猜想的东西，改变它的历史进程。有鉴于山东大学的刘建亚老师在对《数学的天空》的书评中已经对第四章黎曼假设做了详细评论，我们就不再班门弄斧了。总之，以历史作引导，是普及数学的一个极好的思路，有历史观的人，如作者，可带你“观古今于须臾，抚四海于一瞬”。
三、文笔流畅。作者显然是精雕细琢地打磨了此书，其文字字玑珠，蕴古韵而发新意，让人耳目一新顿生快意。我认为这种清新的根源在于作者对数学充满了感情，正如古诗所云“一语天然万古新，豪华落尽见真淳。”我有幸在去年 7 月底于大连理工大学举办的第 9 届数学文化论坛上听过作者之一张跃辉老师所做的通俗报告，他的豪情万丈与风趣幽默给我留下深刻的印象。
古人云，文如其人。作者通过《数学的天空》将他们本人以及历史上一些数学名人对数学乃至人生的情怀与见解分享传递给读者。作为读者，我从中体会到许多乐趣。例如，他们旁征博引，让我知道不少妙语。例如，第 8 页谈及稳定婚姻问题时，他们引用了古希腊哲学家苏格拉底论婚姻的名言：“无论如何要结婚：贤妻带来无穷乐，悍妇令你成哲人。”这里固然只是引用名言不能体现作者的文笔了，但作者的情怀与见识由此可见一斑。再如，让我非常感慨的，书中有三处提到数学家的企图自杀，两位——分别是英国的罗素和德国的沃尔夫斯凯尔——因读数学得救，剩下的那位是日本的谷山——朋友吴帆告诉我，谷山一直都将韦伊视为偶像，但是因为 30 岁时他自觉毕生都不可能超越韦伊而绝望自杀——留下了著名的志村--谷山--韦伊猜想，他的未婚妻也随他绝尘而去。只有那些对数学有情怀的人才会把这些引人深思的凄美故事写进书里，让读者站在人生的高度看数学。作者情怀之于作者，犹如好奇心之于读者，都是非常难得的——尤其是对我们这些中年人来说。对于作者而言，写作这样一本通识书，我想不仅仅是兴趣所致，更多的是一种情怀与担当。（在我所知的作者中，很少有像作者这样用心写大学数学通识书的。）这种情怀与担当，绝对是值得我们学习的，值得年轻的学生学习，值得有志于写作数学通识作品的人学习。陆游所说的“汝果欲学诗，功夫在诗外”，当与此相去不远。
回顾起来，我至今都非常感激当初推荐我读金庸小说的朋友。这些作品在我心中播下了种子，让我领会到侠骨柔情的美，让我一直保持着正直的姿态，追寻人生与数学的美。如果你跟我一样，爱有血有肉有情怀的数学，那么一定读一读《数学的天空》，它会让你痛快，让你对数学充满爱和期待。
我没有说到它的不足，这并非说不存在，你也许也能发现一些可以改进的地方，发邮件给作者吧，他们会乐于听到你的反馈并与你交流的（我就是这么做的）。为抛砖引玉，我在这里向作者提几个建议。
第三章 3.12--3.13 节介绍初等数论中线性丢番图方程与“中国剩余定理”的地方，我建议介绍中国古代数学中的“方程术”与“求一术”（考虑到本书特别注重弘扬中国文化，纯数学之外，还提及“白马非马”、“三分损益法”以及“十二平均律”），这种机械化的方法我相信在上海交大一定受欢迎，更何况上海交大的杰出校友吴文俊先生一直提倡数学机械化以复兴中国古代数学。
第四章 4.23 节介绍常系数二阶线性微分方程的解法时，我建议介绍一下英国电气工程师亥维赛提出的算子法，它是基于对应的多项式分解，本质上这与 3.13 节介绍的中国剩余定理精神类似。我主观猜测，选修数学通识课的，也许以理工科学生居多，所以在适当的地方多提一些杰出工程师（如亥维赛）、计算机学家（如高德纳，本书 157-158 页有特别介绍）、物理学家（如费曼、杨振宁）的相关数学工作会很给力。朝这个方向极端化，也许在以后的通识课程设置中，应当从学生的需要出发，来考虑选题。比方说，可能很多人真的对他们专业课中的一些数学和数学家想了解更多，那么我们就要准备一些更接地气的素材了。我认为这个方向的努力也是大有可为。
也许过分专业的公式和内容可以删减一些，而对相对基础的公式多做一些延伸展开会让读者收获更大。对某些艰深工作的细节解释，可以考虑替换为介绍相关数学家的一些有教益的观点。从我个人经历来说，数学家说过的某些话对我的影响更大。我想本书作为数学通识书，首要的功能也当是开拓读者的眼界、增进读者的兴趣、培养读者的情怀而不是增长知识和培养能力。
最后，我想对感兴趣的读者说，读这本书不必要求处处都读懂（对科普书而言，偶尔不求甚解未尝不是一种可取的方式），否则你就飞不起来了。你要让作者带你飞。数学的天空，有不一样的风景，等着你。
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