老调重弹反证法

作者 | 殷堰工

注：本文为第一届和乐杯数学科普大赛参赛作品，未经授权不得转载。

数学方法是人类思想的光辉创造和智慧的结晶，对于数学的发展起着关键性的推动作用。反证法犹如春天的紫罗兰，在五彩斑斓的数学百花园中竞相开放，绚丽夺目。——作者题记

1高妙的“空城计”

诸葛亮是古典名著《三国演义》中的人物，在我国是个耳熟能详的名字，“空城计”是他成为被后人当做智慧化身的诸多经典之一：

话说三国时期，蜀国丞相诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，靠几个老弱军士出城应战，无异以卵击石，怎么办？

诸葛亮冷静思考之后，决定打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声幽雅，司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，今天如此这般，城内恐怕必有伏兵，故意诱我入城，绝不能中计也。”于是急令退兵。（图 1）

现在，我们不妨深究一下发生在古代的这件著名战事，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，解决了用正面方法（用少数老弱军士去拼杀）很难或无法解决的问题。透过现象看本质，这种正难则反的思维方式被称之为“逆向思维”，它是思维发散的重要表现形式。

有时候，人们用正向思维解答不了的问题，用逆向思维往往可以轻而易举地解决。历史上被传为佳话的司马光砸缸救落水儿童的故事，实质上就是一个运用逆向思维的成功案例。

由家喻户晓的“空城计”，诸葛亮所用的高明方法，不禁让人想起了战国时期“科圣”墨子提出的归谬法。所谓归谬法，反证法也，是间接论证的方法之一，亦称“逆证”。它是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。其基本思想是：否定—推理—矛盾—肯定。

从逻辑的观点看，反证法实际上是通过证明与命题 A→B 逻辑等价的命题为真，从而间接证明了命题 A→B，显然这个等价命题的条件中含有命题 A→B 的结论的否定~B。法国数学家阿达玛（图 2）对反证法的实质作出了这样的概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”真是言简意赅，一语中的。

2荒诞的芝诺悖论

那么，反证法又是怎么来的呢？让我们把时间拉回到公元前五世纪，一位名叫芝诺的古希腊数学家、哲学家（图 3），居然提出一个“追龟说”，论述阿喀琉斯追逐乌龟的事。阿喀琉斯是希腊神话中善跑的名将，而乌龟呢？大概是千万种动物中行动最慢者之一，阿喀琉斯还用去追逐乌龟吗？更加离奇的是芝诺竟然说，阿喀琉斯永远也追不上乌龟。

他的论点是这样的：在阿喀琉斯和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面 100 米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到 100 米时，乌龟已经又向前爬了 10 米。

于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这 10 米时，乌龟又已经向前爬了 1 米，阿喀琉斯只能再追向那个 1 米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！

芝诺解释得是有理有据，一时间难以驳倒，尽管“追龟说”听起来觉得荒谬可笑，起初人们只是当作茶余饭后的谈资，但后来的数学家注意到，这实际上是极限、无穷小等重要的高等数学概念的雏形。这是因为，无限段长度的和可能是有限的，无限段时间的和也可能是有限的，比如，无穷递缩等比数列的和就是一个有限数。其实，芝诺论证问题使用的方法就是今天数学中常用的反证法。即“设甲若能追上乙，则首先应到达乙目前所在的位置”，这大概是有文字记载的最早的反证法了。

有意思的是，芝诺的“追龟说”被人们称为是悖论。根据日本岩波书店《数学百科辞典》的定义：能够导出与一般判断相反的结论，而要推翻它又很难给出正当的根据时，这种论证称为悖论。悖论不是闲谈的趣闻，它预示着更新的创造和未来，诚如逻辑学家赫兹贝格所说：“悖论之所以具有重要意义，是由于它能使我们看到对于某些根本概念的理解存在多大的局限性，…事实证明，它是产生逻辑和语言中新概念的重要源泉。”

顺便说一下，芝诺除了提出“追龟说”悖论外，还提出了另外三个比较有名的悖论，分别是：“二分说”“飞箭静止说”和“运动场问题”。值得一提的是，两千多年来，人们对数学原野上五花八门、呈现形形色色特点的悖论之研究，在一定程度上推动了数学科学不断取得新进展。

3威力凸显的反证法

回过头来我们再说这个反证法，前述诸葛亮的“空城计”堪称是典型，这里再举一个通俗易懂并且引人入胜的故事作为案例进一步说明反证法的内涵和作用。

相传，古代有个迷信神的国家，在那里，“神”是最高审判者。每个死囚在处决前，还要请神作最后的裁决，办法为：用两张小纸片，在上面分别写上“死”和“活”，由问斩官让死囚抽其中的一张，如果抽到“活”字的那张纸片，他就可以得到赦免。

有一次，有个叫幺的死囚将被处决，他的仇人为了置他于死地，买通了问斩的官员，在两张小纸片上都写成了“死”字。好在幺的一个朋友瑟事先知道了这个诡计，并及时告诉了他。经过一番苦思冥想，幺终于找到了死里逃生的办法：问斩那天，幺把抽到的纸片看都不看就迅速放进嘴里嚼烂并吞进肚里，问斩官慌忙问他抽到的是“死”字还是“活”字的纸片，“只要看剩下的那张纸片上的字就可以了”，幺的回答让所有人都无话可说，而剩下的那张纸片上无疑是个“死”字，这说明幺抽到的应当是“活”字，从而幺当众获赦。

显然，幺运用的是反证法，成功挫败了他的仇人的阴谋，重获新生。尽管这是一个充满传奇色彩的美丽神话，但反证法确实是一种非常重要的论证方法。古今中外有不少用反证法解决的问题，是十分耐人寻味的。一般认为，科学史上有名的“自由落体定律”是意大利年仅 25 岁的科学家伽利略用在比萨斜塔（图 4）上做实验和反证法推翻了被当时的人们奉为金科玉律的古希腊大哲学家亚里士多德提出的“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”后得到的。

古希腊数学家希帕修斯依靠反证法对  的无理性的发现，导致了数学史上第一次数学危机，但数学并没有在危机面前停滞不前，反而在克服危机的过程中产生了欧几里得几何。可以毫不夸张的讲，每一次数学危机都极大的推动了数学的发展。

4不可或缺的锐利“武器”

反证法作为数学中的一种很重要的证题方法，被历代的数学大师所重视。大科学家牛顿（图 5）称它是“数学家的最精良的武器之一”。英国著名数学家哈代（图 6）曾经赞道：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。

象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方”。宏观言，反证法不仅对数学科学体系自身的完善有促进作用，而且对人的思维能力的培养和提高也有极其重要的作用。中观看，反证法不仅是一种简明实用、间接的数学证明方法，而且是一种重要的数学思想。微观说，反证法在数学解题中有着广泛的应用，我们熟知的“抽屉原理”（“鸽笼原理”）等都是极富说服力的例证。

笔者在上世纪九十年代（1990 年）初曾受广西教育出版社之邀，专门为中学生写过一本《反证法在代数中的应用》的小册子（图 7），该书对适宜使用反证法的题型进行了归纳和总结：结论本身是以否定形式出现的一类命题；有关结论是以“至多……”或“至少……”的形式出现的一类命题；有关唯一性、存在性、无穷性的一类命题等等，总之是针对结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题。不难发现，符合上述条件的中学数学题是不胜枚举的。

值得一提的是反证法不仅在初等数学中有着用武之地，而且在高等数学中更有它驰骋的疆场。为此，笔者也曾撰写了解题类的长文“数学分析中的反证法”（《南都学坛：南阳师专学报》1990 年 第 3 期），旨在论述反证法的作用，提高大学生运用反证法的自觉性。

需要说明的是，笔者是个数学教育工作者，解题研究是提升个人专业发展的一个方面，而对教学的深入研究，聚焦课堂更显重要。这里试举一个教学中的实例（“反证法”一课的引入）：

“清明假期的作业至少有一个同学没有交，怎样证明这个结论呢？”数学教师就这个问题提问了一位学生。

生答：只要找到一个没交的学生。

师问：那你交了没有？

生答：我还没有交。

全班学生发出了会意的笑声，他们在身边的事情中领悟到了反证法这种证明方法的关键。（详见拙文“提高数学课堂提问质量的研究”《教育研究与评论》2010（4））

最后，必须强调，反证的思想方法在日常生活或社会科学中也多有采用，但那些领域中的反证法与数学当中仍有区别，如“凡鸟皆飞”这一命题用反证法就不合适，鸵鸟不飞并不能引出矛盾。数学禁止它的定理出现反例，所以数学定理经得起反证的考验。

作者简介：江苏省中职首批正高级讲师、苏州大学硕士生导师、苏州科技大学兼职教授。曾在《科技日报》《中国科学报》《中国青年科技》等各级各类报刊杂志发表数学科普文章百余篇，获全国科技报系统科普征文奖，著有数学科普作品《数坛英才录》（江苏教育出版社）。