也谈几何中的的简洁美

注：本文为第一届和乐杯数学科普大赛参赛作品，未经授权不得转载。

 作者：雷勇 平行线教育竞赛部

1. 引言

传统的平面几何教学是以证明为主的。通过建立公理系统和严格的逻辑推理，让学生们体会到数学证明让人无可辩驳的威力，感受古希腊数学家对几何对象之间关系的追求。但是，几何的计算是人类研究平面几何的初衷。面积、距离和角度的测量都是几何计算的对象。

近年来，几何计算在欧美越来越获得数学人们的重视，这一点可以从美国的 AMC 和 MATHCOUNTS 数学竞赛的内容中就可以看出来。英国数学老师索撒尔出版了一本《几何小吃》，就是以这样的题目吸引了众多读者。他甚至出了一本续。蒋迅先生注意到了这个趋势。他在《数学通报》2018 年 9 月号上发表了一篇“几何小吃的简约美”，把这个动向介绍给国内的读者。

最近读了蒋迅先生的这篇文章，颇有心得。很多数学爱好者就是因为几何的直观，解题富有创造性才开始喜欢数学。一本传记说爱因斯坦就是接触到到平面几何，并被深深地震撼到，从而逐步开启了以后的辉煌历程。平面几何中的面积问题，不需要过多的逻辑，但是构造方法或是思维方式妙趣横生，往往带给人思考上的乐趣。正如蒋迅先生所说“简约之美是大多数人喜欢数学的原动力。”很多没有受到过专业数学训练的朋友也可以方便参与其中。几何对与数学爱好者入门提供了很好的题材。下面通过几个小例子，感受数学的简约带给我们的乐趣。

2. 一个网红题

我们首先从一道“网红题”说起，这个题目要求在上图条件下求出正方形的面积。为了讨论方便，我们制作了图 2.

如图 2，这个题目直接去求正方形边长不太容易，但是正方形对角线AC与题目条件的关联比较密切，把AC与EF的交点设成点G，易知 △AEG 与△CFG 相似，而且相似比是 3。这样我们就知道 EG=15/4，FG=5/4，△AEG 与△CFG 都是直角三角形，应用勾股定理求出 AG=39/4，CG=13/4. 所以 AC=13，进而求出正方形 ABCD 的面积是 169/2。

AC的长度非常整齐，又是一个勾股数，这就调动起我们对这个题目进一步探索的兴趣，也就得到了“网红”解法。延长AE且过点C向AE作垂线，设垂足为F（见图 3），这样得到一个很直观地结论，AC是直角 △AFC 的斜边，并且两直角边分别为 12 和 5。

这个题目还可以通过延长AE和CF，利用内部各块面积和等于正方形面积建立等量关系，求出设置的相关变量解决问题。这个思路留给读者自己完成。

不同的方法，在已知和所求之间，建立关联的方式不同。我们的目的并不是说，解题一定要找“巧解”，因为那些繁琐冗长解题方法更容易被找到，也或许这样的方法更有一般性典型性。但是毕竟简洁优美的解题策略，给人惊喜，让人过目难忘。对题目本质的呈现更加一目了然，这会为学生更加喜欢数学提供一点点原动力。

3. 更多的例子

让我们看更多的例子。

例 1、正方形ABCD的边长为 3，中心是O，另一个正方形的边长是 4，一个顶点正好压在O点，将第二个正方形绕着O点旋转，当交点 P 正好是AB边的三等分点时停下，求两个正方形重叠部分的面积（见图 4）。

这个题目直接去进行运算，所求四边形在确定边长的时候还是会有些障碍，处理起来比较繁琐。但是一旦给出合适的辅助线（如下面图 5），就变成一个很简单直观的问题。所求面积恰好是小正方形面积的 1/4 这个结论是不是很直观？除此之外，我们还能意识到大正方形无论怎样旋转，重叠面积都是固定不变的。

例 2、如图 6，在直角 △ABC有一个正方形BDEK，AK=5cm，DC=10cm，求正方形BDEK的面积。

这个题目的思路应该是借助 △AKE 与△EDC相似，进而求出正方形的边长，于是得到正方形的面积。

但是只要把三角形补成长方形，使得题目解答一目了然（见图 7）。△AKE 与△AFE 面积相等，△CDE 与△CIE 面积相等，又知道两个大三角形△ABC 与△AGC 面积相等，所以所求面积就等于长方形 EICD 的面积 50 平方厘米。

下面是一道应用题。题目的叙述不复杂。我们也期待着能又一个简洁的思路。

例 3、农民霍格斯维尔有一块田地，他是一个等边三角形，每条边的边长是 100 米，他心爱的一头猪“飞猪”被拴在一个角上，使得他能抵达的区域恰好是总面积的一半，请问绳子需要多长。

这个问题直接进行运算也不困难，但是如果把这个图形复制成 6 个并平铺起来（图 9），问题就直观很多。正六边形边长是 100 米，容易求得它的面积是  平米，因此 ， 米。

例 4、由立顿工业公司在加利福尼业贝佛利山按年度出版的智力游戏从刊《难题消遣》（Problematical Recreations）第 7 卷上提出的如下一个问题，一个人把他的啤酒杯在吧台上放了三次，产生了图 10 所示的一组三个圆圈。他小心使得每个圆都通过另外两个圆的圆心。调酒师认为，相互叠加部分（阴影）的面积小于一个圆的面积的四分之一。而这个顾客认为，阴影大于圆面积的四分之一。谁的猜测正确?

按照我们的习惯性思维，可以先求出阴影部分内接等边三角形面积，然后加上三角形三条边外的三个弓形面积。但是当我给出下面的图形，你就突然发觉，这个解答完全用不到几何公式和算术表达。

三个交叉的圆,每一个通过另外两个的圆心，可以在平面上形成如图 11 所示的墙纸图案。每一个圆是由六个三角状的图形(D)和十二个香蕉状的图形(B)组成。因而，圆面积的四分之一必须等于一个半三角状与三个香蕉状图形的面积之和。而三个相交圆的公共部分（图中的阴影部分）由三个香蕉状和一个三角状图形组成，所以它比四分之一的圆面积小半个三角状图形的面积。计算表明，交叠部分的面积比圆面积的 0.22 倍稍微多一点点。

例 5、江苏省数学文化节上的一个题目。图中是三个半径为 1 的圆，六个阴影部分完全相同，六个阴影部分的面积和是多少？

只需看了下图的对原有图形的割补方法，这个题目不用我们给出解答，结论一目了然。每三个阴影部分面积恰好构成一个半圆形。所以六个阴影部分的面积和是。

再给一个例子，正八边形面积为 64，你能求出阴影部分面积吗？这里不做解答，留给读者朋友自己解决一下。

4. 结束语

这些问题看似简单，但每一个都有一定的难度。其难度水平正好超出了一般初学几何的作业题，又让一些喜欢挑战的学生可以上手。这样可以活跃学生积极讨论。有些题可能不会一下就有了思路。没关系，这些题目都是一目了然，一下子就映入了脑海。所以可以多花几天时间去思考。

这些简单问题似乎都存在着一题多解。于是当人们解决了问题之后，又可以得到更多的惊喜。

这类问题不同于初等几何的证明。它更侧重于计算。体积、面积、长度和角度是问题的中心。这样的问题更趋于与国际几何教学接轨。国外数学竞赛多重视这样的题目。从几何的应用来看，计算也比证明更为重要。但这样的几何计算又离不开几何的基本理论。没有证明的训练也是不可能完成计算的。

简洁表达永远是数学爱好者的共同追求。这个事实存在于几何，存在于代数，也存在于数论和所有的领域。让我们把平面几何作为我们的出发点吧。