编者按：本文的缘起和目的，开亮老师在文章的开头已经交待的很清楚，这里我再补充一点。小鱼老师的这篇文章《到底什么是“数学思维”？》最早是2019年1月22号发在了好玩的数学公众号上，本周一（也就是2020年3月2日）因为要发的文章还没有编辑好，所以翻了一下之前的文章，找到了这篇又推送了一次（现已被我删除）。开亮老师指出这篇文经不起推敲，今天当我再去认真读它的时候，确实存在一些问题，这个开亮老师在文中已经做了详尽有力的阐述。这也说明了我（作为主编）在审稿时不够细致，辜负了大家的信任，误导了广大的读者，在此深表歉意！接下来我们将考虑设置完善的审稿程序，希望大家监督、指导和批评。

但是有一些话我还想说一下。

1、开亮老师是我敬佩的学者之一，他的大部分意见我都同意，少部分观点带有他的主观判定。从本文结尾长长的致谢名单可以看出，开亮老师的文章所探讨的问题获得了许多大、中、小学教师的关注，值得各位关心中小学数学教育的读者注意。

2、2018年夏天我和小鱼老师在青岛见过一次面，有过短暂的交流。在我的印象中，小鱼老师是一个很有情怀的教育领域的创业者，她所创办的小鱼数学影响了很多家庭，让很多孩子爱上了数学。但是她的这篇文章存在的一些问题说明小鱼老师和她所创办的小鱼数学还有一些值得改进的地方。我更希望的是她能接受本文的批评和建议，更好地去完善她的教学体系。

3、开亮老师和小鱼老师代表了两个不同的人群。开亮老师是数学科班出身，经历过比较系统的数学专业训练。小鱼老师则是教育领域的创业者，是培训机构教师的代表，他们可能缺乏系统专业的数学训练，但是他们最了解学生，知道用什么方式教学学生更容易接受。有些东西大家一起讨论讨论，对于如何做好数学教育我觉得还是有一定的促进作用。

4、本文以就事论事为原则，指出了小鱼老师文章中所存在的问题，其实本文也是写给广大的一线数学教师，开亮老师所指出的问题说不定也是我们教学中存在的盲点。

5、人非圣贤，孰能无过。无论是小鱼老师、开亮老师，还是我以及“好玩的数学”，都有不完美的地方，好的方面我们继续发扬，错误的地方我们及时改进。欢迎大家批评指正，也希望大家多提一些有建设性的意见。

——“好玩的数学”主编 孙志跃

2020年3月6日

驳“小鱼老师”的“八大数学思维”

作者 | 林开亮

缘起

由于我常常为“好玩的数学”供稿，以至于不少朋友误以为我是主编。事实上，“好玩的数学”的创始人与主编，是江西吉安某中学的孙志跃老师。

考虑到“好玩的数学”的粉丝超多（32 万以上），像我的朋友圈就有 300 多人关注，我投入了相当的精力。我在该号也发布了多篇文章，引起不少读者的反响。我从读者鼓励或批评的留言中受益良多，也因此结识了不少朋友。

我在大学工作，平常主要关注高中以上的数学。今天偶然看到“好玩的数学”推送了一篇文章到底什么是“数学思维”？，出于好奇，点开看了看。结果被震惊——文章根本经不住推敲，而该号竟然推送了该作者的多篇文章！我认为自己必须站出来——既出于维护“好玩的数学”的声誉，更出于一个数学教育者的责任——讲明真相，以正视听。

作者“小鱼老师”其人

看到到底什么是“数学思维”？这样一个引人注目的标题，我的第一反应是想知道作者究竟是何方神圣。一看，署名“小鱼老师”。没听说过，上网搜一搜吧。很快出来一张靓照，感觉不错，但与我所关心的——她够不够专业——毫无关系。几经周折，我总算搜到一个比较详尽的介绍，如下（真名这里不提）：

于 XY（小鱼老师），中国儿童创新教育研究院院长、肺鱼思维·小鱼数学创始人，核心研究方向是基于数学的 STEAM 教育，多学科融合的受益者与推崇者。理科实验班出身、商科学士、艺术类文科硕士、国家心理咨询师。曾活跃于广州、北京文艺圈，半职业写手；自初二起数学基本满分通过，十余年一线数学教研经验，拥有一套独特的学习方法和教育理念，独创“4S 思维训练法”助力多名学员在世界头脑奥赛中斩获金奖。

——引自网页介绍
(https://xw.qq.com/cmsid/20180311A04HTX00)

对这些绚丽的铺陈，我唯一能确定的只有：“小鱼老师”于 XY创办了肺鱼思维·小鱼数学。据网页(http://qdxyswjyxxzx.china.herostart.com/) 的图片显示，肺鱼思维是位于青岛的一家教育信息咨询公司，法人代表于 XY。从她的介绍中，我没有看出她具备基本的数学专业素养。

现在我担心的是，她的文章有没有误导读者？于是我读了文章，果不其然。考虑到她这文章竟然有3.6 万的阅读量（要知道我的代表作《戴森传奇》转载在“知识分子”也才6.8 万），而且下面还有一帮点赞的，我感觉后果比较严重，必须及时澄清。

我立即向主编表示，将写一篇文章(即本文)专门讨论，以正视听。志跃兄也表示愿闻其详。于是有此文。

首先我想说明两点。第一，虽然我任职于大学，但由于我的师范经历和兴趣，我一直关心中小学数学教育，与赵洁老师合译的小学数学师资培训教材《数学家讲解小学数学》（北京大学出版社，2016 年）备受读者欢迎。第二，我有奥数经历，2001 年获得高中数学联赛全国一等奖（湖南省并列第十）。

补充这两点，是希望读者了解，我对所谈论的话题小学数学与奥数多少有些了解。下面就来分析“小鱼老师”的文章。

“小鱼老师”的奥数观

首先，我们来看“小鱼老师”是如何引出她的“八大思维”的：

一直在被问。小鱼数学教的是奥数嘛？

不完全是。我们的知识基础确实是奥数体系，但侧重点不同，我们的重点不在于技巧和知识，而在于数学思维的培养。

那所以，到底什么是“数学思维”？

最近一年来，由于政策上的号召，许多“数学思维”如雨后春笋般冒出尖来，各种传统奥数培训机构也跟着转型，统统转成了“数学思维”。这让五年前就说自己是“数学思维”的小鱼数学很尴尬啊，只好开始新一轮的解释。

好吧，今天我就好好给大家解释一下，我们眼中的“数学思维”到底是什么。

2013 年，我刚开始写教材。那时候还没有海星大王和小海，刚创作出小鱼、泡泡和萌萌，整个小鱼魔法故事也刚有雏形，讲的是“小鱼和他的好朋友智斗蟹校长”的简单故事。

我写的第一个系统的故事课程叫做“黄金八讲”，一共 8 节课，打破传统奥数用题型分模块的方式，提出了“八大数学思维”，打散题型从思路出发。当时便总结出了有序思考、规律思考、正向思考、逆向思考、整体思考、分组思考、逻辑思考和发散思考八种基本的数学思考方式，也就是数学思维。

这是一套没有“市场”的课，几乎没有年级门槛，一节课学完很难说你学了什么“知识”和“题型”，没办法给家长足够的价值感，甚至连课堂笔记都不太好做。毕竟思维这种东西，很难用公式和定义落实在纸面上。所以随着小鱼数学系统课程的问世，它很快就淡出历史舞台。

但“数学思维”没有谢幕，它一针一线地编织到了我们每一节课程中。

通过分析上面这段引子，可以得到下述信息：“小鱼老师”写的是奥数教材，教的是奥数，以“八大思维”形式包装。

她的“黄金八讲”课程并未得到家长认可（没有“市场”），但今天她要在此争取网友的认同。

数学思维鲜明的人，说话都是直截了当的。因为他们了解数学思维追求效率。众所周知，两点之间走直线最短；同样地，两个人交流，以直接的方式最有效。我就不拐弯抹角了：我要反驳“小鱼老师”了。

“小鱼老师”认为他们教奥数的特色是侧重数学思维的培养，而重点不在于技巧和知识。我认为，不论是教课堂内的数学还是奥数，首先要教学生搞懂具体的知识。正因如此，诸如“体育老师教数学”的情况必须杜绝。

我们不能指望一个非科班出身的老师注重那个学科的基础知识，因为这正是其盲点。如果我想让学生学到东西，我肯定要反复强调对具体知识的深刻理解和对技巧方法的熟练掌握，这是根本。

小鱼老师的课程居然几乎没有年级门槛，既说明她希望学生多多益善，更反映出她对各个年级学生的不同需求欠缺考虑。正如前面所说的，老师教学有门槛，学生学习也需要有适当的基础，不同年级的学生具备的基础不同，很难坐在一个教室里上同一门课。

小鱼老师的话中，有一句我觉得很有道理：毕竟思维这种东西，很难用公式和定义落实在纸面上。我非常认同。可没想到，她居然迎难而上了，她说：“今天，我就好好给大家解释一下，我们眼中的“数学思维”到底是什么。”

她这里用了一个我们，我不知道指的是谁们，感觉是指小鱼数学，代表就是“小鱼老师”本人。那么，“小鱼老师”眼中的“数学思维”到底是什么呢？她说她提出了“八大数学思维”：有序思考、规律思考、正向思考、逆向思考、整体思考、分组思考、逻辑思考和发散思考。听起来声势壮过“降龙十八掌”，一定很厉害了！可你仔细回想原来的问题，会发现一个大漏洞：她并没有回答“数学思维”到底是什么？ 她没有定义出“数学思维”。既如此，何来“八大数学思维”之说？

为了让你看得更清楚，现在我提个小问题。给你这样一段对白：

学生问：老师，听说您擅长培养数学思维，那么什么是“数学思维”？

老师答: 有序思考、规律思考、正向思考、逆向思考、整体思考、分组思考、逻辑思考和发散思考，我称之为“八大数学思维”。我可以告诉你每一种思维都可用于怎样的题目，有序思考用于例 1……

现在我问：如果你是提问的学生，如何看待老师的回答？请你想一想。等有了答案，再接着往下读。

如果你对老师的回答满意，那就糟了。因为老师并没有回答你的问题(答非所问)，而且这个回答反倒说明老师回避了你的问题，在糊弄你呢！（写到这里我想起某搜索引擎的口号“搜你想搜你”，听起来多舒服，然而出来的结果却是：“给你我想给的！”）

虽然上面的对话是我虚拟的，可实际上，“小鱼老师”的文章就是这么一回事，只不过她是“自问自答”。结果可想而知，就是自己糊弄自己了！

作为读者，我对“数学思维”一直好奇，原本希望通过读这篇文章能增长见识。我很失望，感觉被愚弄了。照理说，到此为止，我可以不看她的“八大思维”了，这种“八宝楼台”般炫目但华而不实的称谓对我没有帮助。可是考虑到作者连写文章都是这样糊弄，不免担心她讲数学会不会也糊弄误导读者，看看吧。

“小鱼老师”的 9 个例子之剖析

我不认可她“八大数学思维”的称谓，就不用她的包装了。以下我对她嵌入的 9 个例子逐一分析。这些例子表明，她的对象是小学生。此外，我们从她为好玩的数学所写的作者介绍(http://www.zxhsd.com/kgsm/ts/2017/09/09/3927376.shtml)中得到佐证：

小鱼老师，原名于 XY，小鱼数学的创始人，对儿童数学教育有独到的见解和思考。她所创办的小鱼数学深受学生家长好评，她的“魔法数学课”成功帮助数万名孩子学好了数学，爱上了数学。

后面的话我们都无从验证。我们来听听她的见解吧。

“小鱼老师”举的第一个例子如下：

例 1  个同样的苹果放到  个同样的筐里，有多少种放法？

她说：“关于这道题，不能想到哪个说哪个吧？你最好按照顺序从小到大去想，才能不重不漏的找到所有答案。” 但后面没有给出具体的分析，只是笼统说这类问题是一种“有序思考”的体现。

我觉得，在分析问题时，首先应该指出这个问题所属的类型以及通常所采用的方法。例 1 属于数学中的一类典型问题，计数问题，通常在组合数学中讨论。计数问题可以很简单，也可以非常难。在我看来，例 1 固然可以让小学生思考，但意义不大。例 1 所代表的一般问题，要到大学的组合课程中才会有完整讨论。比如说，麻省理工学院数学教授 R. Stanley 的《计数组合学》第一卷 1.4 节，给出了这个问题的 12 种不同版本的详细讨论。作者称之为“12 重方式”。

老实说，我是 36 岁时才知道“12 重方式”。这表明，对一般人而言，知不知道这些东西无关紧要。

我不关心例 1，所以对“小鱼老师”的分析不做评论。

以下两个例子，“小鱼老师”归在“规律思考”名下：

例 2  是一个一千位数，求他除以  的余数。

关于这道题，你觉得可能会让你真的算算看嘛？不会，一方面不太可能，另一方面也没有意义。

所以这里面一定有规律！

我经常提醒孩子们，通常你看到省略号，就应该可以开始庆贺了，因为这里一般都有规律，你只要找到规律了，这事儿就容易了。

那怎么找规律呢？这就是另一个问题了。

再来一道题体验一下

例 3 . 下一个数字填几？

例 2 属于初等数论，是典型的中小学奥数题。“小鱼老师”说，例 2 一定有规律，但没说怎么找规律，而是立即切换到例 3，可那根本就不是数学题。

到底例 2 有没有规律，如何找到可能的规律呢？这本来就是一句话的事情：为了考察一千个1 的情况，你先考察一个 1、两个 1、三个 1、四个 1 等等的情况。为此，你要先计算出 1,11,111,1111,11111,111111,… 除以 7 的余数， 那么得到的结果是 1,4,6,5,2,0,1,4,…。这个时候，你可以猜测：这些余数是以 6 为周期循环出现。那么这个序列中第 1000 个位置对应的数是多少呢？做一个除法，会发现  除以 6 的余数是 4，从而 1000 个位置对应的数，与第 4 个位置的数相同，也就是 5。

答案是得到了，但不能认为这就是完整的解答。原因在于，中间我们做了一个猜测。在考场上，如果这是一个填空题，你可以大胆地填 5；可如果是解答题，这就不算完整解答。要形成完整的解答，就要说明这个猜测是成立的。如果只是为了完成这个题目，你可以考虑证明一个足以确定答案的简单猜测：   除以 7 的余数与  除以 7 的余数相同。这就相当于，要证明它们的差

被 7 整除。在后面的乘积表达式中， 好大，如果后面的  被 7 整除，就再好不过了。遗憾的是，很容易发现  不整除 10000。于是我们要证明的是前面的大数  被 7 整除。一个简单的推理是， 注意到 6 位数 111111被 7 整除（这在我们前面探寻规律时已经算过）996=166 x 6

其中  一共有 166 个。根据十进制表示的定义，容易看出(理解定义是关键) ，各个位置的每一捆  所代表的数都被 7 整除，从而  被 7 整除。

湖南师范大学第二附属中学的刘仲喜老师，建议我这里用公式（当然就是根据十进制表示的定义了）来推理论证， 确实写出来更清楚：

右边一共有 166 个被加项，每一项都含有因子 111111，它被 7 整除，从而右边的每一个被加项都被 7 整除，所以整个求和——即左边的数——也被 7 整除。

通过上述分析可以看出：例 2 这道典型的奥数题，知识上的要点对整数的十进制表示的理解；在策略上，是先猜出答案，再给出推理论证，整个过程下来其实并不简单。“小鱼老师”说：“只要找到规律了，这事儿就容易了。”恕我不敢苟同！学数学是要动手的。而且，只要一动手，就会发现到必须掌握所需要的基本知识。教我们——不论是数学教师还是学生——怎样解题的数学大师波利亚早就提“出告诫：“如果我们只有关于该主题的很少知识，要想出一个好的思路是很难的；而如果我们没有任何知识，那就完全不可能了。”（《怎样解题》中译本第7页，感谢中央民族大学王兢老师分享。）

至于例 3，这种没有标准答案的题目不应出现在数学中，如果出现，只能反映出命题人缺乏基本的数学素养。作为数学命题人，非数学的题目一定不要出。

“小鱼老师”认为下面的例 4，学生用“倒推法”容易出错，建议用“正向思考”：

例 4 小鱼有一堆苹果，第一次吃掉了一半，第二次吃掉了剩下的一半，第三次吃掉了  个，还剩  个。问小鱼一开始有几个？

“小鱼老师”明明就是用倒推法，为什么要说成“正向思考”？

至于“反向思考”，“小鱼老师”给出以下两个例子：

例 5 ，让你在中间的空格中填上合适的运算符号，使得等式成立。

例 6 1 到 100 中有多少不含数字  的数呢？

例 5 也算不上数学，充其量就是一个益智游戏。比方说，它的功能，跟下面这个问题（我的博士导师费少明教授在讨论班上提出，以活跃午间有些迷糊的大脑）差不多：对只字填一笔，使它变成另一个字。[将手机屏幕顺时针旋转90度会看得更清楚。]

例 6 也是计数问题。这问题本质上是考察对减法的理解与运用。

“小鱼老师”将下一个例子归到“整体思考”名下：

例 7 柴柴拿着一张  块的钱来买蛋卷，一盒蛋卷  块钱，掌柜的要找她  块。但掌柜没有零钱，就去找卖糖葫芦的兑了  张  块零钱，给柴柴找了零。而卖糖葫芦的回来找，说这  块钱是假的，没办法，掌柜又去找卖地瓜干的借了  块钱，还给卖糖葫芦的。请问掌柜一共赔了多少钱？

我想这问题也属于“脑筋急转弯”。记得有一期“开讲啦”节目请周润发在中国传媒大学演讲，主持人撒贝宁提了一个类似的问题考发哥，结果发哥立即反问：“那个问题跟我有什么关系呢？”这个绝对反击博得了满堂喝彩。撒贝宁本想把发哥往沟里带，结果搬起石头砸了自己的脚。

同样地，我们也不必关心每一个问题，特别是无厘头的问题(近来网上暴露了不少)，而学生在考场上适当放弃难题更是一种战略。

对于例 7，你一定要想明白，也不难。你如果是掌柜，你要算你赔了多少钱，就看这些过程中，你拿出去多少钱，拿出去值多少钱的货，你有没有收到钱？“小鱼老师”将这个分析命名为“整体思考”没道理。感谢温州大学章勤琼老师一针见血地指出：“最直接的想法是，既然50元是假的，那么就是赔了50元。不管中间的过程如何复杂，但这个本质不会变，都可以转化到那张50元假钱上。这才是真正的数学思想和数学方法的运用：抽象和转化。”（当然，如果要非要较真——学数学还真需要这股较真的劲，掌柜是赔了40元再加上被骗出去的那盒蛋卷的成本。）

下面的益智游戏题目她归为“分组思考”也够牵强：

例 8 往圆圈里分别填入 、、、、、、，使得每条线上三个数的和是一样的。

对于这类问题，我想我们可以借用美国大物理学家费曼倡导的“试探纠错法”(trial and error, 也称试错法)。你试一试就不难发现窍门和答案。我知道类似于此的数独游戏很受欢迎，不过这离数学其实还很远。从本质上讲，数学是自由的，而这类游戏从规则上几乎已经完全限制了你的想象力。被绑住了翅膀的鸟儿能飞多高？

接下来，“小鱼老师”给出的名目是“逻辑思考”，她没有给出具体的例子，要旨似乎是这一句：“从大类上分为两个基本思路，一是排除，二是假设。”我想她主要想凑够八个(讨个吉利)。

“小鱼老师”的最后名目是“发散思考”，举例如下：

例 9 小鱼和泡泡家刚好在一条笔直的马路上，海底魔法学院也在这条马路上。已知小鱼家距离学院  米，泡泡家距离学院  米，请问小鱼家和泡泡家距离多远呢？

她紧接着写道：“不知道你能不能一眼看出来这有两个答案，第一种是两个家在学院同一边，第二种是两个家在学院两侧。”这最多算分类讨论吧。而实际上，出现这类条件不明的题目是小概率事件。不再讨论。

“小鱼老师”的结语

上面我们逐一考察了“小鱼老师”的 9 个例子，相信读者已经对她的数学水平有所了解。她的结语如下(其中的红色标记是她文章中自带的)：

这就是小鱼数学所倡导的八大数学思维，刚好四组，两两对应。数学是一种思考的工具，可以有效训练我们的思维，学会主动、独立的思考问题。

总是有人问：学小鱼数学能提高数学成绩嘛？

嗯，如果把提高成绩当作目标，那你最多只能提高成绩；但如果你把提高思维能力当作目标，那提高成绩只是一件水到渠成的必经之路而已。

所以，还是那句话，知识和技巧是学不完的，希望培养一代能够独立思考的年轻人。

她说“八大思维”“刚好四组，两两对应”，那么“有序思考”、“规律思考”、“逻辑思考”、“发散思考”怎么对应，费解。我觉得连“八件套”都称不上。

看“小鱼老师”的收尾：“还是那句话，知识和技巧是学不完的，希望培养一代能够独立思考的年轻人。”其实这是两句省略了主语的话的合并。第一句：(孩子们,)知识和技巧是学不完的。第二句：(我)希望培养一代能够独立思考的年轻人。两句之间本来是没什么关系的。她组合在一起，什么意思。照我的理解，前句是否定，后句是肯定。换成是我，我会这样说：“孩子们，知识和技巧是学不完的，跟我学八大思维吧。我会让你成为一个独立思考的人！”她的说法虽然文法不通，但可以取得一种意想不到效果：让人感觉她胸怀远大、志存高远，肩负着教育好下一代的伟大使命，钦佩之情不禁油然而生。

你仔细阅读，会发现“小鱼老师”的文法问题比较严重。再看这一句：“如果你把提高思维能力当作目标，那提高成绩只是一件水到渠成的必经之路而已。”且不说一件路的搭配不当，整个句子所表达出的意思“你要达到提高思维能力的目标，必定要先提高成绩”跟她前面的话“如果把提高成绩当作目标，那你最多只能提高成绩”是矛盾的。

结论

通读“小鱼老师”的这篇文章，我得到以下认识：

第一：她的文章总体结构在逻辑上站不住脚。她提了一个众人都很关心的问题“数学思维是什么”，但并没有明确回答，只是说她有“八大思维”，并解释了“八大思维”。

第二:她的“八大思维”属于不伦不类的东拼西凑，无道理可言。

第三:她对小学奥数和数学缺乏正确的认识，所选取的 9 个例子中只有一个例子（例 2）是比较合适的题目，其它各个题目对小学生的数学思考价值不大，好几个问题都算不上数学题，充其量只能算益智游戏和脑筋急转弯。她对例 2 所做的分析表明，她对这个问题没有形成完整的认识。

第四：她的文章多处出现错别字、搭配不当、缺标点、缺主语、自相矛盾等文法不通。

第五：她强调“知识和技巧”学不完，“八大思维”可以学。其用意似乎着重于鼓吹“小鱼数学”。

这五条可以视为我事后的审稿意见。据此， “好玩的数学”当初推送此文是个错误。在推文最后还附上“小鱼老师”写的一些所谓“干货”，更是错上加错。

我们的推送误导了广大读者，对此我们深表歉意。这里我个人要明确声明：“孩子们，八大思维是没道理的，独立思考不是靠别人培养的。”

至于很多读者关心的“数学思维”究竟是什么，我认为，目前来说，这个问题是一个大坑。我这么大了，对这个问题没有清醒的认识，并不妨碍我学数学、教数学、写数学。我们要学习和讨论的，是数学本身。

最后，我有几句话特别要对读者朋友说。其实思维没有那么高深莫测，从这里的“八大思维”联系到你自己孩子遇到的情况，就是发散思维。思维的本质是动脑筋想，不必纠结于它的种种包装。

疫情之下，我对自己以后的方向有了更清晰的定位：数学教育。欢迎感兴趣的读者留言。我们一起交流讨论，互相学习，共同进步。

致谢

感谢西北农林科技大学张京同学、刘洋同学、重庆大学邵红亮老师为我提供制作图片，感谢返朴公众号编辑潘颖老师为我提供相关文章的链接，感谢美国南密西西比大学丁玖老师、首都师范大学方运加老师、王永晖老师、朱一心老师、曾小平老师，重庆大学邵红亮老师、南京大学朱富海老师、北京师范大学刘玉明老师、吉林师范大学程晓亮老师、中国矿业大学张汉雄老师、中央民族大学王兢老师、中国传媒大学陈见柯老师、浙江海洋大学胡侃老师、温州大学章勤琼老师、国防科技大学周青松老师、渭南师范学院赵教练老师、北京市朝阳区教育研究中心张浩老师、北京教育学院彭纲老师、北京小学长阳分校高亚娟老师、清华附中彭玉梅老师、北京杨镇一中丁洁老师、湖南师范大学第二附属中学刘仲喜老师、湖南常德鼎城一中张春松老师、刘凌军老师、常德市鼎城区永安小学陈慧老师、同济大学朱善军同学、大连交通大学莫利同学和丁为一、徐泽、李萌、张宝群、王东魁、赵琴以及本公众号主编孙志跃老师对初稿提出宝贵意见。我从他们的建议和批评中学到许多，不论是为学还是学人方面，都受益匪浅。

作者介绍：

我在母校首都师范大学（林义筌摄影）

林开亮，西北农林科技大学理学院教师。天津大学数学本科，首都师范大学基础数学博士。教学之外，热衷数学教育与数学史的普及传播，在《数学传播》、《数学文化》、《数理人文》、《数学通报》、《数学教学》、《中学生数学》、《中国数学会通讯》、《数学研究及评论》、《高等数学研究》、《科学文化评论》、《知识就是力量》等刊物、“数学与人文”丛书以及“好玩的数学”、“数学纵贯线”、“数学爱好者俱乐部”、“和乐数学”、“返朴”、“知识分子”、“赛先生”、“数学与人文”、“遇见数学”等微信公众号平台发表多篇专业或通俗文章。与人合作翻译《数学家讲解小学数学》、《当代大数学家画传》、《数学与人类思维》、《数学巨匠》、《微积分及其应用》等，合作编辑《杨振宁的科学世界》。代表作之一是学生时代为美国普林斯顿高等研究院教授 Freeman Dyson 写的传记《戴森传奇》。

传播数学，普及大众

长按识别二维码关注我们

欢迎把我们推荐给你身边的朋友

▼

▼▼▼点击阅读原文发现更多好玩的数学。