时光飞逝啊！

数列的极限通常作为微积分的开篇。例如，最简单而重要的事实之一是，等比数列有极限当且仅当公比的绝对值小于1或者公比等于1（此时退化为常数列）。在高中，我们学过两个重要的数列，除了等比，还有等差。那么等差数列的极限如何呢？不难发现，等差数列有极限当且仅当公差等于0（此时退化为常数列）。实际上，等差数列和等比数列，都是一类更广泛的典型数列的特例。这类数列就是由常系数线性递推关系所给出的数列。例如等差数列，满足前后两项之差为常数（公差），等比数列满足前后两项之比为常数（公比），这些关系写出来就是一个递推关系。另一个著名的例子，是斐波那契数列，它的递推关系是：任意连续的三项中，第三项是前两项之和。这样的递推关系，加上初值条件，就可以定出整个数列来。在常系数线性递推关系的情形，得到的数列可以说是最简单的。所以，一般地，可以问，这样的数列有无极限？本问题可以说从原则上解决了这个问题。值得注意的是，我们这里讨论的数列是复数列，递推关系的系数也是复系数。它自然包含了通常所关心的实数列的特殊情况。

原本打算与几位朋友一起在6月底为有志于考研的同学做几次通俗讲座，结果没能实现。现在我将高数这部分的研究心得发布于此，希望对各位研友有用。对于本校的研友，如有需要，我们可（通过排球QQ群）另约时间在教室讨论答疑。我希望以下内容能够作为各位复习高数的一个指引，建议各位研友看完后，多做真题，从实战中领会考研的重点，了解自己的薄弱环节，然后有针对性地加强巩固，拿下它们（或者放弃，毕竟不是每个人都要考到130+）。以下内容基于我在西北农林科技大学为生命、水保、社会、社工各专业学生讲授高数课程、与学生交流的经验与体会，感谢各位曾与我互动的同学。尤其是今年刚刚毕业的同学，你们是我教过的第一届学生，也是最棒的一届学生。1.

三年前，当我第一次教授微积分课时，作为对一学期教学的回顾总结，我写了一篇文章“五个关键字里的微积分”。本学期一开头，我曾借它来迎新。今天，为帮助学生温习微积分，我想再写一篇更实用的文章，希望能够对部分同学的复习提供一个指引。为了使重点突出，我把要强调的十点作为小标题。初等函数微分法三字经口诀

今天从网上了解了一下今年的数学一、数学二考研题，发现某些教育培训机构给出的某些答案有点欠妥。我也做了三个，欢迎大家批评指正。感谢同事刘帅教授参与了第一题的讨论，感谢屈毅林、师润同学、陈琳同学分享了他们的数学一、数学二考研体会。数学一第18题第二问(ii)是证明，原题是要求给出一个唯一存在性证明，这里可以通过具体计算，给出了一个构造性证明。刘帅老师提议，读者可以考虑高阶线性微分方程是否有类似的结果。数学一第19题技巧性略高，题目设计得也很巧。这题型可以适当推广，留给有兴趣的读者。数学二的这个题目考察二重积分的计算，但借助于著名的格林公式，可以转化为定向曲线积分的计算。有网友留言说，数学二不学格林公式。那么我想我只能说，如果你会的东西越多，就越占优势。当然，这个题也可以不用格林公式求解，天津大学理学院物理系的刘云朋老师就给出了这样一个解法，为方便读者，我们一并附上，作为参考。定向曲线、定向曲面的积分的观念及其计算，往往是学生的难点。事实上，如果采取外微分的语言，这部分内容是比较容易理解的。请有兴趣的读者参见本微信公众号之前发布的“陈省身讲微积分及其应用”的系列讲座之前两讲。昨天考研结束，我问了一下从前教的学生，有人反映数学有点难。我大致过了一遍，感觉数学一、数学二确实比我们平常的课堂训练和课后作业要难些。看来以后有必要提高对学生的数学要求，否则他们难以应对考研。这样的微积分考研试题，不知道牛顿和莱布尼兹会怎么看。他们当然不会觉得难，但他们可能也不太愿意命题者出太难的题，让后人们因此而记恨他俩吧！我曾听说，有许多工科的讨厌数学的学生，恨不得让某些大数学家再挂几遍，他俩首当其冲。但照《寻梦环游记》里的说法：

期。感谢《数学传播》授权转载。笔者从前第一次读到这篇访谈就深受打动（见文中的蓝色标记），昨天翻开访谈者张海潮的一本小书《数学放大镜——畅谈高中数学》，读到自序的第一句我的老师项武义先生有一次对我说：

本文是作者今年6月份在母校天津大学理学院给出的通俗报告的PPT截图。

张国荣在演唱《有谁共鸣》作者按：Resonance，常常翻译为共鸣，在物理中是个专门的术语，称为“共振”，描述的那类现象跟光电效应有点类似。我想读书写作各种形式的交流，最重要的一点，就是找到共鸣。对于本文，初稿写成后，我曾发给好几位朋友一睹为快，有引起共鸣的，如

Green)证明的一件事情是，在素数中可以找到一个以算术级数著称的特定模式。你可以找到五个、十个、二十个甚至是如你所愿的任意多个等距的素数。

图片取自电影Spectral，中译名幽冥。请允许我用它来打个广告：

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我记得的第一件事发生在12岁左右，那时我已明白，有些几何题目是不能用代数方法求解的。每隔5度我求出弦长与弧长之比，制成了表格。很久以后我才明白存在着三角（非代数的）函数，实际上我是制作了三角函数表。