磁性拓扑又一村

Original 刘奇航量子材料QuantumMaterials 2022-07-04

致磁性拓扑

君问英雄若所依谁由拓扑竞朝晖

时光反演框今古道轨回眸矩作机

磁序无常添霍尔维低破缺塑崔巍

风华尽在追陈数一缕兰心向月飞

0. 编按

话说，我们少时一进入学堂，老师就给我们灌输那令无数普通人心潮激荡的历史观：是人民创造了历史，而不是英雄创造了历史！这种历史观，无形中给了我们普通人积极向上的驱动力与鞭策：我们也可以是左右人类命运的响当当人物，只要我们愿意并为此奋斗不懈。

后来，我们慢慢长大，有了阅历、有了知识、有了挫折与收获，好不容易熬成了知识阶层之普通一员时，就慢慢体会到：历史是人民创造的，但也是英雄创造的。或者说，英雄们是历史长河中能够被人记住的那少数的人们。那些伟大的人物，携历史的使命而呼风唤雨，顺潮流而昌、搭潮流而起、引潮流而无上，是为英雄。我们这些普通人，将我们创造历史的梦想与现实寄托在英雄们身上，或高歌而酒、或低吟而伤。

其实，不光是人类，科学技术也是如此。数百年来，那些切合时代背景、顺科技而昌、搭科技而起、引科技而无上的科学发现与技术，亦是创造科学历史的光亮星辰。本文的主体对象是一类材料。而材料，亦像英雄一样左右科技的发展。材料科学历史上，那些英雄一般的材料横空出世，奠定了近现代材料科学在自然科学中的中枢地位。2007 年，美国的 TMS 学会联盟曾经在全球范围内征集评选材料科学历史上最光辉的时刻和事件，一共遴选出 50 个英雄般的材料或基于材料的发现。排名第一的当属 1864 年门捷列夫发布元素周期表，因为它才是材料学者每日捧在手里心头的葵花宝典。排名第三的是 1948 年前后 (严格说是 1947 年 12 月) 美国贝尔实验室的巴丁、肖克利和布拉顿研制出点接触型锗晶体管，这是量子材料开启历史的里程碑。虽然那时的材料是锗，但很快就有了基于硅 (Si) 的晶体管。硅，作为材料科学历史的近代英雄，脱颖而出，已经成为当代科学技术的材料国王！虽然近年来，基于石英 (SiO₂) 的光纤材料和光世界正在挑战硅，但这不过是祸起萧墙、自家争斗而已。

图1. 2007 年由美国 TMS 组织大批材料科学学者评选材料科学与工程历史上 50 个最光辉的时刻，门捷列夫的元素周期表 (1864) 独占鳌头，荣获首位。而与量子材料密切相关的是 1948 年由巴丁等发明的晶体管，屈居第三位。

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1. 追寻之路

事实上，纵观那入选材料科学 Top 50 的各路英雄们，我们感受到的更多是它们背后的追寻之路。这种追寻，一是让初出茅庐者成长为英雄；一是看英雄们如何开疆破土、构建基业与帝国。前者有伯乐千里马的感慨，后者有欣赏科学世界跌宕起伏之快感，都是壮丽画卷！

这里，让笔者从追寻量子反常霍尔效应之路开始，看看能够追寻到什么初出茅庐、看看层状磁性拓扑材料 Mn - Bi - Te 家族能不能成为千里马和英雄。噢耶！

1.1. 霍尔效应家族

1879 年，年仅 24 岁的 Edwin H. Hall 在撰写博士论文期间，发现了后来以他名字命名的“霍尔效应 (Hall effect)”。现象学描述这一效应，即：将通电的导体置于垂直电流方向的磁场中，由于洛伦兹力作用，导体内载流子将横向漂移，导体的横向两端将产生电势差。这个电势差被称为霍尔电压。当时麦克斯韦的电磁学已经如日中天，洛伦兹力解释这一观测的理论很快就溪流涓涓、如饮甘醇。

青涩的霍尔当时应该无论如何也意识不到，这一效应的发现，不仅刺激了上世纪四十年代半导体物理以及固体电子学的兴起，更是奠基了百年后凝聚态物理的一大革新新纪元：将拓扑的概念与半导体结合！两年之后，也就是 1881 年，Edwin H. Hall 又发现，铁磁性导体不需要外磁场也可产生霍尔电压。这个效应被称为反常霍尔效应 (Anomalous Hall effect)。

所谓反常，无非是说当时的人们不明白为什么会如此。反常霍尔效应并不能用经典的洛伦兹力图像来理解，其内部机理困惑了理论和实验物理学家近百年时间。

大约在 1954 – 1984 年间，Karplus、Luttinger 以及 Berry 等人考虑了载流子的自旋-轨道耦合，并逐渐引入“贝里相位 (Berry phase)”的概念。这些伟大的工作才使得反常霍尔效应内禀机制的理解有了实质性飞跃：当载流子在某些导体中传输时，其非零的贝里曲率 (Berry curvature) 可以贡献一个横向的速度，进而产生霍尔电压！这一成就至今依然是推动物理学发展的动力之一，部分是因为曲率 (curvature)，部分是因为 Berry 先生依然精神矍铄地活着！

不过，在具有时间反演对称的体系 (例如非磁性) 中，贝里曲率对霍尔电导的整体贡献会被抵消殆尽。所以，反常霍尔效应只能出现在时间反演对称破缺的体系 (例如铁磁) 中。当然，若体系存在时间反演对称，体系却可能具有自旋霍尔效应 (spin Hall effect)。此时虽不能产生横向的电荷输运，但能产生自旋输运，即不同自旋的载流子向相反的两个横向侧面聚集，形成自旋压。自旋霍尔效应可以产生和探测自旋流，在自旋电子学有着重要应用。同反常霍尔效应一样，材料中内禀的自旋霍尔效应同样来自自旋-轨道耦合作用。可以认为是在两个自旋通道下，各自有一个横向移动方向相反的反常霍尔效应，因此电荷输运效果刚好抵消，而自旋输运效果得到叠加。

这些“简单”的物理图像可以卡通展示于图 2 中，值得仔细观摩和玩味。

图2. 霍尔效应家族 [下半部分取自 Science 340, 153 (2013)]。

图 2 所示三种霍尔效应还分别对应一个量子化的兄弟版本，即：量子霍尔效应、量子反常霍尔效应、量子自旋霍尔效应。与经典正常的霍尔不同，这里的横向霍尔电导率会展现量子化的平台。这三个效应与正常霍尔效应家族的观测量完全相同，但是却蕴含着更深刻的物理，也就是拓扑物态以及拓扑相变。

量子霍尔效应涵盖了凝聚态物理学家对于相和相变孜孜不倦的追求，展现了将优雅的数学概念引入到物理学中所获得的美的享受。自 2016 年三位物理学家因此领域而斩获诺贝尔物理学奖后，凝聚态物理中关于拓扑的概念正在变得大众化，并顺带解决了不计其数科学家的就业问题。

这里，量子霍尔效应和量子反常霍尔效应虽然本质同源，但前者的电导量子化来自强磁场量子化朗道能级，后者是由磁性材料中本征体态的能带拓扑性、即“陈数 (Chern number)”决定的。或者说，量子反常霍尔效应是由二维时间反演破缺的陈绝缘体 (Chern insulator) 边缘态导致的。量子霍尔效应需要强磁场、高迁移率，要实际应用有很大挑战。而量子反常霍尔效应，不需要外磁场，但需要体系具有强的自旋-轨道耦合 (SOC，通常存在于较重元素中)。所以，从应用角度讲，需要施加强磁场的技术是难以走入千家万户的，从而凸显了量子反常霍尔效应的重要性。的确，这个效应更受关注，但从材料实现角度来讲又更加有挑战性。

同自旋霍尔效应一样，量子自旋霍尔效应也可看成两个不同自旋的量子反常霍尔效应之叠加，可以由拓扑数 Z₂来刻画。对应的体材料是二维的拓扑绝缘体 (topological insulator)，量子自旋霍尔效应来自于它的边缘态。

由于上述三种量子化效应对应的是能带的整体拓扑性质，它们对材料中局域无序不怎么敏感，对输运有贡献的边缘态不容易被散射，所以很“robust”。这种性质被认为可用来设计低功耗的电子器件。由此，如果能有合适的材料可以足够干净，以满足上述条件，不仅能为很多基础研究提供平台，还可以为下一代电子元件提供可能的新方案。

这里，尤其受到关注的是量子反常霍尔效应的材料，即陈绝缘体。部分原因是这里携带信息的单元乃具有单一通道的电荷。而相比之下，量子自旋霍尔效应是关于自旋的输运，存在自旋散射的通道。从这个意义上看，量子反常霍尔效应更容易与当前基于电信号的器件整合，毕竟自旋器件由于各种条件限制依然是旭日初露、远未如日中天。

好吧，看起来清楚了：时代需要“高质量的量子反常霍尔效应材料”！

图3. 实现量子反常霍尔效应的两种途径。不同颜色代表不同的自旋通道 [1]。

1.2. 追寻量子反常霍尔效应

寻找可以实现量子反常霍尔效应的陈绝缘体材料当然很有挑战。个中缘由可以从能带角度理解。能带是材料的指纹，决定材料的众多性质。当前，拓扑物理的爆炸性发展又一次彰显了能带理论的威力。陈绝缘体具有独特的能带特征：

(1) 由于时间反演破缺，导致的自旋劈裂，在一个自旋通道上的导带和价带发生能带反转，而另外一个自旋通道没有能带反转；

(2) 自旋-轨道耦合效应或者其它什么机制能够在发生反转的这两条能带间打开一个能隙，成为所谓的绝缘体。

对于时间反演破缺的磁性材料而言，长程磁序的处理无论理论还是实验上都是个令人头疼的问题。相比之下，借助具有时间反演对称保护的非磁材料来实现量子自旋霍尔效应，并获得三维拓扑绝缘体，反而相对容易，从而走在更前面。过去几年，陆续找到了诸如 HgTe / CdTe 量子阱、Bi₂Se₃、Bi₂Te₃等较为理想的明星材料。由此，人们自然想从具有量子自旋霍尔效应的二维拓扑绝缘体出发 (见图 2)，通过引入掺杂等方式引入磁性，使得一个自旋通道的能带反转被解除，进而实现只有一个自旋通道能带反转的陈绝缘体。

当然，与上述方法相对称，如果从一个非磁的、拓扑平庸、但接近能带反转的窄带半导体出发，通过磁性掺杂引入交换场后，能带也可以发生塞曼劈裂，使得一个自旋通道产生能带反转。这里的交换场、能带反转、自旋-轨道耦合打开的能隙，是三个关键所在。

2010 年，中科院的方忠、戴希课题组以及斯坦福大学的张守晟课题组，共同提出了这两种实现陈绝缘体能带特征的方法 [1] (图 3)。其基本思想可简单地总结为：对具有强自旋-轨道耦合效应以及时间反演对称的窄带半导体，无论它最初是拓扑平庸的、还是非平庸的，都能通过适当的磁性交换场作用，将其调控成陈绝缘体。而三维拓扑绝缘体的薄膜正好满足这样的性质：一方面，它们已经有了若干次的能带反转；另一方面，由于量子限域效应，这样的体系会有一个比较小的能隙，易于被一个比较小的交换场调控至陈绝缘体。至于薄膜本身的拓扑性，可以粗略地看成取决于能带反转次数的奇偶性，这里并不重要。

其实，这一段文字要求，施加给我们的物理限制和条件已经很多了！让一般读者要反复来回读很多遍，方能感受一二。物理、特别是凝聚态物理，已经是映日荷花别样红的风景了！

沿着这样的思路，清华大学薛其坤团队，经过长期不懈地生长、调控、观测，于 2012 底成功地在 Cr 掺杂的、薄膜状 (Bi,Sb)₂Te₃拓扑绝缘体中观测到量子反常霍尔效应 [2]。这一被杨振宁先生高度称赞的工作，是人类追寻量子反常霍尔效应之路上的一个重要里程碑。

不过，这个实验观测到的量子反常霍尔效应，离室温下的实际应用仍然有很远的距离，因为它需要 30 mK - 100 mK 的极低温苛刻环境。客观来说，这个问题不仅仅是具体实验细节以及材料选择的问题，而是整个方案的一个瓶颈。通过外禀掺杂的方式引入磁性、实现长程的铁磁序，以此来反转能带，看起来很难在较高温度下实现。

因此，寻找更加合适的陈绝缘体体系，可能还需要从材料实现方案上实现突破。

图4. Cr 掺杂 (Bi,Sb)₂Te₃拓扑绝缘体磁性薄膜中观测到的量子反常霍尔效应 [2]。

为避免借助磁性掺杂形成长程铁磁序的困难，能否直接从本征的磁性拓扑材料出发，例如从三维磁性拓扑材料的薄膜出发，来实现量子反常霍尔效应呢？这种方案的优势很明显：可以将量子霍尔效应的实现温度迅速提升至磁转变的温度！事实上，一想到有些磁性材料的磁转变温度甚至可以超过室温，这一设想如果成为可能，岂不美哉？

然而，相对于非磁拓扑材料已经可以进行字典化的搜索，本征磁性拓扑材料的研究仍然处于百尺竿头、方兴未艾之态，虽然近两年发展的确很迅速。2018 年，中科院物理研究所刘恩克及其合作者，成功预言 (并随后被实验证实) 铁磁性外尔(Weyl) 半金属 Co₃Sn₂S₂[3]。它的居里温度高达 175 K，并且存在很大的反常霍尔效应和反常霍尔角 (反常霍尔电导率与纵向电导率的比值)。Co₃Sn₂S₂具有简单的铁磁序、比较高的居里温度，其费米能级靠近 Weyl 点，且其费米能级附近的杂带较少。这些特性使它的拓扑性质易于实验直接观测，因此一经发现就引起极大关注。

Co₃Sn₂S₂是继南京大学万贤纲教授开创性工作 Y₂Ir₂O₇[4] 之后又一个时间反演破缺的代表性 Weyl 半金属，完成了 Weyl 费米子的家族分类。相应地，TaAs 是一个空间反演破缺的代表性 Weyl 半金属。

发现 Co₃Sn₂S₂中存在巨反常霍尔效应后，一个很自然的想法就是尝试调控其能带、打开能隙。因为 Co₃Sn₂S₂本身已具有能带反转及铁磁序，基于 Co₃Sn₂S₂来实现量子反常霍尔效应是值得期待的。随后的第一性原理计算也得到了正面的结果 [5]。然而，实验上，由于 Co₃Sn₂S₂不是典型的范德华层状材料，要想机械剥离出符合要求的二维薄膜，技术上存在不小的困难。

1.3. 柳暗花明

2018 年下半年到 2019 年，追寻陈绝缘体材料的道路柳暗花明，迎来了另一个新的机遇：反铁磁拓扑绝缘体的二维薄膜。

对于反铁磁材料来说，由于时间反演对称破缺，理论上无法形成 Z₂保护的拓扑绝缘体。然而，2010 年一篇理论文章表明 [6]：当存在一种时间反演对称和空间平移对称的联合操作S = T𝜏_1/2的对称性时，体系存在 Kramers 简并、并可定义一种 Z₂保护的拓扑绝缘体。

与时间反演保护的 Z₂拓扑绝缘体不同，保护反铁磁拓扑绝缘体的对称操作含有平移算符。因此，对于满足 S 对称性的表面而言，会形成拓扑保护的狄拉克锥，而破坏 S 对称性的表面会被磁性打开能隙，成为一种弱拓扑绝缘体。理论上说，反铁磁排布的形式决定了在某些二维薄膜下，体系会有净磁矩来贡献交换场，使得体系成为一个陈绝缘体。最经典就是反铁磁的 spin-canting，使得很多反铁磁体展示出弱的净磁矩。

近一年来，这一领域追寻到了一类满足上述条件的材料体系，即 Mn - Bi - Te 家族 (图 5)。行文到此，方得正果，实属不易。接下来，笔者将着重展示用Mn - Bi - Te 家族实现量子反常霍尔效应的一些进展，包括：如何基于 Mn - Bi - Te 家族设计多种拓扑相、时间反演对称的量子自旋霍尔效应态、时间反演破缺的量子自旋霍尔效应态、以及我们一直追寻的理想的量子反常霍尔效应态等。

图5. Mn - Bi - Te 家族 [7]。

2. 磁性拓扑 Mn – Bi – Te 家族

Mn – Bi – Te 家族的母体是磁性化合物 MnBi₂Te₄和非磁化合物 Bi₂Te₃。这两种材料都是层状材料，层间是范德华 (van der Waals) 相互作用，因此易于剥离。如图 5 所示，其它主要家庭成员可以由 MnBi₂Te₄层 (记为 A) 和 Bi₂Te₃层 (记为 B) 像搭乐高一样堆积而成，其中 A 层含有磁性原子 Mn，是磁性层；B 层为非磁层，是熟知的拓扑绝缘体 Bi₂Te₃的单层。将这两个单元随意堆积，只要满足一些物理化学条件，可以堆积出很多化合物出来，对吧？！

看君读到这里，马上就会有云开雾散、日旭月明之感：您看，不就是将一个磁性化合物与一个拓扑绝缘体原子级复合在一起么？！此种伎俩，可比磁性掺杂来得漂亮和精巧，效果一定是安德森预言的那些 emergent phenomena 的一角！

目前实验上观测到的结构有 MnBi₂Te₄、MnBi₄Te₇、MnBi₆Te₁₀以及MnBi₈Te₁₃等。它们中的 A 层与 B 层数目之比分别为 1 : 0、1 : 1、1 : 2 和 1 : 3 [7]。类似地，也可将 Bi₂Te₃算进 Mn – Bi – Te 家族，其 A 层与 B 层的数目之比为 0 : 1。Mn – Bi – Te 家族中既包括了很强的自旋-轨道耦合带来的能带反转，也包含了 Mn 引入的长程磁序，因此是磁性拓扑材料的理想候选家族。由此看来，如果将 Bi₂Te₃当作量子反常霍尔效应态的父亲，那尽可以将 MnBi₂Te₄当成母亲。亦由此，可以大胆预言：英雄一辈一家育，不尽风流从此书。

下面从母亲 MnBi₂Te₄出发，具体介绍这类材料独特的拓扑性质和可能的英雄气质。

2.1. 母体 MnBi₂Te₄

体态的 MnBi₂Te₄完全由 A 层堆积而成，相邻层之间呈反铁磁序，层内呈铁磁序，自旋方向垂直每层所在的平面 (图 5)，磁转变温度大约为 24 K。2018 年，清华大学的徐勇课题组以及复旦大学/南京大学的王靖和张海军课题组预测，MnBi₂Te₄中存在上述的联合对称操作S = T 𝜏_1/2，也可以像时间反演一样定义一个 Z₂拓扑态，即反铁磁拓扑绝缘体[8, 9]。理论预测的表面态中，只有保持 S 对称性的表面上，也就是侧表面上才存在拓扑保护的狄拉克锥，而最容易剥离的 (001) 表面的表面态却不受拓扑保护、存在被局域磁矩打开的能隙。由此可见，沿层间方向剥离出来的二维 MnBi₂Te₄薄片，会有磁性和量子限域作用共同打开的能隙。更进一步地，由于体系特殊的反铁磁排布，MnBi₂Te₄二维薄膜的磁性和拓扑性会随着层数的奇偶性有变化：偶数层的薄膜没有宏观磁矩，被理论预测为轴子绝缘体 (axion insulator)，具有奇特的拓扑磁电响应；奇数层的薄膜存在未被抵消的宏观磁矩，在三层或五层以上应该是大家梦寐以求的陈绝缘体，可实现量子反常霍尔效应[9, 10]。

如果实验能够证实这个预测，那么量子反常霍尔效应的转变温度就可以轻而易举地提升到 24 K。这较掺杂拓扑绝缘体的方案提升有两个数量级，而且实验难度也大大下降。

图6. (左) MnBi₂Te₄的晶体结构。(右) 实验观测到的 5 层 MnBi₂Te₄薄膜中的量子化霍尔电阻。(左) 和 (右) 分别来自引文 [8] 和 [11]。

然而，不是然而，是一定！现实却没有如此理想。实验方面，复旦大学张远波课题组以及清华大学王亚愚课题组，分别在 MnBi₂Te₄体系 5 层以及 6 层薄膜中，发现了可以在较高温度下 (4.5 K) 出现的量子化的霍尔电导[11, 12]。随后，北京大学的王健课题组，在 7 层薄膜下发现了可以在 60 K 高温下存在的量子化霍尔电导平台[13]。

但是，这几个测量工作并不是在零磁场下，而是在 5 - 10 特斯拉的磁场下完成的。几个课题组给出的解释是：磁场的作用是将薄膜的磁序从反铁磁变成铁磁，这时的宏观磁矩提供的交换场已经足够大来实现陈绝缘体，也与理论计算相符。毫无疑问，这仅仅是权宜之计，因为量子反常霍尔效应中的“反常”二字，就是形容无外场时出现霍尔电导的量子化。较大磁场的引入，会使得量子化的成因出现一些不确定性。一个可能是磁场产生了量子霍尔效应中的朗道能级 (可以通过改变栅压调控载流子的类型来判断)。另一个可能，是外磁场诱导的塞曼分裂使得体系发生了拓扑相变 (见 1.2 中的讨论)。

因此，虽然在实现温度提升的角度上，MnBi₂Te₄材料迈进了一大步。但是，相关工作表明存在较高磁场的问题，而解决这个问题成为了人们下一步追求的目标。

其实，可以这么去看我们面临的问题：母体 MnBi₂Te₄年事很高、内在丰富，不是那么简单直接的。母体的复杂性，除了体现在二维薄膜的拓扑性质上理论与计算有出入之外，还体现在所谓的体态 - 表面对应上。如前所述，由于S对称性被破坏，这种材料的天然解理面、也就是(001)表面应该是绝缘的。近日 Nature 背靠背上线两篇文章，声称这类磁性打开能隙的反铁磁拓扑绝缘体已经在 MnBi₂Te₄以及相关材料中实现 [14, 15]，看似已经将此事盖棺定论。

然而近日，笔者所在的南方科技大学刘畅和陈朝宇课题组，通过高分辨率的角分辨光电子能谱，发现 MnBi₂Te₄的 (001) 表面实际上有一个非常漂亮的狄拉克锥，意味着该表面实际存在受拓扑保护的表面态。笔者所在课题组，通过理论计算提出，这可能是由无序导致的表面磁性重构引起的，并从不同对称性的角度列举了支持这种不寻常导电状态的几种可能表面磁性结构 (图7) [16]。几乎同期，其他几个课题组也独立报道了类似的结果。

总之，这些简单理论所无法企及的奇异行为表明，自然界对磁性拓扑材料的处理比以前想象的要复杂得多、也有趣得多。

图7. MnBi₂Te₄[001] 表面的表面态。(左) ARPES 观测到的无能隙 Dirac 锥。(右) 理论计算的不同磁构型对应的表面态 [16]。

图8. MnBi₄Te₇中的磁性及磁输运性质 [17]。

2.2. 自生磁性- 非磁超晶格 MnBi₄Te₇

回到量子反常霍尔效应。如果想在反铁磁的 Mn – Bi – Te 材料体系中实现这一效应，即使不能完全脱离磁场，至少要尽量使磁场带来的副作用降到最低。一个直接的想法是，如果能设法降低反铁磁层间的交换作用强度，使得较小的外磁场就能产生稳定的铁磁态，那么自然是往前更进了一步。MnBi₄Te₇的出现，则启发了一种能有效降低层间反铁磁耦合作用的途径。

对于博大的 Mn – Bi – Te 家族，实现这一思路并非难事。如图 5 所示，在 MnBi₂Te₄中，每两个 A 层之间都插入一层 B，就能得到 MnBi₄Te₇。这里，独特之处是：随着 B 层插入，原本相邻的两个 A 层被分隔开，它们的间距也随之变大，导致两个 A 层之间的反铁磁耦合强度降低。

最近的实验观测的确证实了这一点。加州大学洛杉矶分校的倪霓课题组，首次生长出了高质量的MnBi₄Te₇单晶，它的反铁磁转变温度在 13 K 左右。更重要的是，实验测得的MnBi₄Te₇层间方向上的饱和临界磁场大约为 0.2 T (图 8)，这比MnBi₂Te₄的临界值低了一个数量级[17]。这是一个让人兴奋的结果，小的饱和临界磁场意味着MnBi₄Te₇的铁磁态很容易被调控出来。而得到 0.2 T 的磁场，实验室易于反掌，一个正常的霍尔回滞曲线的测量就可达到这一磁场值。作为比对，Cr 掺杂的 (Bi,Sb)₂Te₃拓扑绝缘体磁性薄膜之回滞曲线在正负 0.4 T 左右，见图 4 右。

因此，相对于 MnBi₂Te₄，MnBi₄Te₇又向理想的量子反常霍尔效应迈进了一步。理论计算方面，笔者所在课题组通过第一性原理计算发现：磁性层之间的反铁磁交换作用强度也比 MnBi₂Te₄低了一个量级，与实验观测一致。另外，MnBi₄Te₇同样具有联合对称操作S = T𝜏_1/2。计算得到的体态磁性和拓扑性质与MnBi₂Te₄别无二致，这里不再赘述。

类似地，Mn – Bi – Te 家族中的 MnBi₆Te₁₀和 MnBi₈Te₁₃等材料也有这种磁性 - 非磁超晶格结构。而且，由于两个磁性层间距更长，层间的交换作用更弱，效果可能更好。实验发现，对于 MnBi₆Te₁₀，外磁场降为零时，体系仍然有较强的残存铁磁性[18]。而对 MnBi₈Te₁₃，其层间相互作用已经完全趋于铁磁[19]。因此，这类超晶格结构的薄膜，不仅可以实现多种 A 层和 B 层堆叠的二维结构，且在很低外场下就能实现长程铁磁序。

那么，这些二维结构，到底能否实现理想的量子反常霍尔效应呢？亦或是会出现其它拓扑态？

3. 风华道不尽

要回答这个问题，首先要考虑 Mn – Bi – Te 家族的二维薄膜原则上可表现出哪些拓扑相。事实上，Mn – Bi – Te 家族所具有的拓扑相非常丰富。只考虑铁磁结构时，这些二维体系可以用一个三维拓扑绝缘体的二维极限在交换场作用下的模型来描述，其中可调参量是层厚和交换场强度。只考虑四带模型，当层厚或者交换场不大时，可以解析得到体系的陈数和自旋陈数，用来标定体系的拓扑态。

图 9 给出了根据 k·p 模型得到的相图 [20]。在交换场为零时，也就是横轴上，可以发现三维拓扑绝缘体薄膜作为一个二维结构，其 Z₂拓扑性随着层厚表现出了 0 和 1 之间的振荡 (Z₂ = 1 的相用蓝色实线标识)。值得注意的是，这样的振荡依赖于由材料性质决定的具体参数，并不保证会在所有的三维拓扑绝缘体薄膜中发生。例如，笔者所在的课题组，通过杂化泛函的第一性原理计算发现：对于 Bi₂Te₃薄膜，这样拓扑性的振荡存在；但是，对于 Bi₂Se₃薄膜，在能隙关闭之前，其二维薄膜都是拓扑平庸的，与之前基于模型哈密顿量的理论预测结果不同。为了证实这一点，与笔者合作的国防科技大学王振宇以及南方科技大学陈朝宇通过角分辨光电子谱研究了 Bi₂Se₃薄层的能带结构。他们通过掺杂 In 的方式，削弱体系的自旋-轨道耦合，结果显示带隙单调增加、而不是先关闭再打开。这就从实验上直接证明了这一二维体系的带隙的确是拓扑平庸的[21]。

回到相图。在交换场不为零时，Z₂拓扑不变量的分类不再适用，但是我们可以利用陈数以及自旋陈数来标定体系的拓扑性质。我们揭示出，这时的系统可以呈现普通绝缘体、时间反演破缺的量子自旋霍尔绝缘体、陈绝缘体这三种不同的态。其中，前两个相形成封闭的包络，中间填充的是陈绝缘体相。这是因为：对普通绝缘体，两个自旋通道均无有效的能带反转；而量子自旋霍尔绝缘体是两个通道都有能带反转。因此，两个相之间过渡时，由于时间反演破缺，必然会经历只有一个自旋通道是能带反转的情况，即陈绝缘体相。

另一方面，给定材料厚度、增加交换场时，无论是从普通绝缘体、还是从量子自旋霍尔绝缘体出发，都可以通过一次相变得到陈绝缘体相，这和 1.2 节的分析一致。

图9. 拓扑相图及不同二维 Mn – Bi – Te 构型的拓扑相分布。灰色，黄色，淡蓝色区域分别为平庸的绝缘体，时间反演破缺的量子自旋霍尔态和量子反常霍尔态；蓝线为时间反演对称的 Z₂量子自旋霍尔态 [20]。

有了完整相图，下一个任务就是如何将 Mn – Bi – Te 家族的二维结构映射到这个相图中来。这样做的意义在于不仅能够验证模型哈密顿量的有效性，还可以根据相图去理性设计想要的拓扑态所对应的结构 (包含厚度和磁性两个参数)。由于 Mn – Bi – Te 是范德华层状材料，这一家族的二维结构多种多样。比如，从 MnBi₄Te₇块材，可解离出AB、ABA、BAB 等二维结构；从 MnBi₆Te₁₀块材，可以解离出 ABBA、BBAB 等。主要结果如下：

(1) 首先，通过第一性原理计算，这些二维结构的铁磁态 (相较于反铁磁基态，其能量不高于 0.2 meV / Mn) 的确可以实现相图里提到的所有拓扑相，以及普通绝缘体相。

(2) 其次，能带结构的计算揭示：一个 A 单层的能带，可以近似地等价于一个 B 单层的能带与一个塞曼场贡献的叠加。所以 Mn – Bi – Te 薄膜可以用 Bi₂Te₃薄膜的有效模型外加一个均匀的交换场来描述，而有效模型中的薄膜厚度和交换场的大小分别对应 Mn – Bi – Te 薄膜的层厚和 A 层的比重。

(3) 基于此，第一性原理计算的结果，可以成功映射到有效模型给出的拓扑相图上，如图 9 所示。具体的映射规则是：向右移动的路径 (如 A – AB – BAB) 意味着厚度增加，对应增加一个非磁的 B 层；而向上移动，意味着塞曼场增加 (如 BB – AB – AA)，对应于把一个 B 层替换成 A 层。

拓扑相图和材料计算结果的匹配，可以成功解释为什么不同的二维构型会给出看似无规律的拓扑相。在此基础上，还可利用相图的构造去预测陈绝缘体态对应的二维结构。而且，这些构型可以被一个非常小的磁场 (甚至存在于零场下) 稳定住，保证工作温度较高 (10 K 左右)、易于制备。毫无疑问，这些结果为基于量子反常霍尔效应的后续研究制造了诸多便利条件。

4. 展望

行文至此，尚未塑造成功一位英雄或英雄家族，说明笔者还不算是此中伯乐之一员。不过，可以预见，较为理想的磁性拓扑材料如 Co₃Sn₂S₂和 Mn – Bi – Te 家族的发现，会显著推动这个领域的研究。

对于 Mn – Bi – Te 家族而言，我们的认识还远没有达到透彻的程度，理论计算和实验测量也有很多不一致的地方。比如，上述提到的奇数层无法实现零场量子反常霍尔效应。再比如，表面态拓扑保护的狄拉克锥等。实验上已经观测到这类体系中有较多的 Mn – Bi 反位缺陷、甚至表面重构等，而表面的自旋无序还未被实验证实。这些缺陷如何影响这类体系的拓扑性，也是人们重点关注的问题。另外，上述材料的发现也必将刺激更多磁性拓扑材料的理论预测和实验制备工作出现。

2019 年初，三篇重量级《Nature》文章宣告了非磁的拓扑材料可以利用对称性指标进行字典化高通量的搜索。其实，类似的处理也可应用于借助磁空间群描述的磁性材料中，但其分类方法因为长程磁序的多样性而变得更加复杂。由于磁序问题，找到理想的磁性拓扑材料似乎如同大海捞针，而磁性原子的局域轨道以及由此带来的关联效应也使得传统的基于密度泛函理论的第一性原理计算之可靠性有所降低。当然，相较于传统材料研究的试错法，通过理性的逆向设计来预测功能材料(如磁性拓扑材料)是高效的。而这种设计，包括设计方案的选择、计算方法的优化、稳定性的考量等因素，也会为未来的研究提供契机。

作为初步的展望，我们已经坚信：拓扑和磁性这两个深奥的概念联姻，会给凝聚态物理世界带来一系列新奇的物理效应。除了本文重点介绍的量子反常霍尔效应之外，诸如轴子绝缘体、拓扑超导、马约拉纳零模、分数陈数相等[22]，都是尚未充分开垦的高地。

Mn – Bi – Te 体系作为反铁磁材料，理论上应该是轴子绝缘体和拓扑磁电效应的理想候选。最近，清华大学王亚愚研究组也从输运特征上给出了一些 MnBi₂Te₄偶数层薄膜成为轴子绝缘体的间接证据 [12]。然而直接的拓扑磁电效应测量难度很大，轴子绝缘体相仍然是一个开放的问题。另外，最近的理论研究表明，当 MnBi_2nTe_3m+1在外场下具有倾角自旋的时候，非点式空间群对称性使得体系成为一个具有高阶拓扑特征的莫比乌斯绝缘体，其手征边界态可以通过磁场调控[23]。这一问题也是英雄用武之地。

值得一提的是，无论是理论预测、还是诸如量子反常霍尔效应的实验测量，来自中国的研究者在这些本征的磁性拓扑材料研究中都处于世界领先地位。在这里，笔者只是斗胆从材料的角度、针对其中一个方向作一些粗浅的介绍，以期抛砖引玉。或许在不久的将来，我们可以期待来自中国的科学家触及诺贝尔物理学奖。那时候，他 / 她是英雄，他们手下的材料亦是英雄！

5. 参考文献：

R. Yu et al., Science 329, 61 (2010).
C. -Z. Chang et al., Science 340, 167 (2013).
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Z. S. Aliev et al., Journal of Alloys and Compounds 789, 443 (2019).
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E. D. L. Rienks et al., Nature 576, 423 (2019).
Y. -J. Hao et al., Physical Review X 9, 041038 (2019).
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C. Hu et al., arXiv:1910.12847 (2019).
H. Sun et al., Physical Review Letters 123, 096401 (2019).
Z. Wang et al., Nano Lett 19, 4627 (2019).
Y. Tokura et al., Nature Reviews Physics 1,126 (2019).
R. -X. Zhang et al., arXiv:1910.11906 (2019).

备注：

(1) 笔者刘奇航，供职于南方科技大学物理系及深圳量子科学与工程研究所，曾入选 2018 年国家特聘青年专家项目。笔者领导的课题组，主要从事以密度泛函理论为主的凝聚态理论研究，聚焦真实材料的新奇物理性质。我们的研究兴趣包括理解量子材料中新奇的电学、磁学、光学、缺陷、自旋-轨道耦合、拓扑等性质及它们的耦合，还有功能导向的新型材料设计及预测。欢迎对本课题组研究方向有强烈兴趣、计划以科研为职业目标的人士申请博士后及研究助理教授等职位。研究方向详情请见课题组主页：

https://liuqh.phy.sustech.edu.cn/

(2) 图 2 上半部分取自笔者同事卢海舟教授的讲义。文章初稿由笔者课题组成员孙红义完成。在此一并感谢。

(3) 题头小诗乃 Ising 所撰，表达拓扑世界的英雄之梦。~ 英雄：既指拓扑世界中的金牌材料，亦指追寻这些英雄材料的物理人。这里指好的磁性拓扑绝缘体材料。~ 拓扑：量子拓扑材料及相关研究。~反演：时间反演对称(特指非磁性)，反演破缺即特指磁性。~ 今框古：今对古，今古时间流，亦指时光流逝。由今天框演过去，即时间反演的意义。~ 道轨：量子轨道。~回眸：轨道回眸即指量子轨道与其它量子自由度耦合过程，如自旋-轨道耦合。~ 矩作机：矩为轨道矩、叉乘矩，机乃机制，均是运动之形、作用机制。电子沿轨道旋转导致自旋-轨道耦合，是拓扑物理的奥秘之一。~ 无常：反常。磁性导致反常霍尔效应。~ 维低：低维，这里指二维材料。~ 崔巍：高峻、高大雄伟。《楚辞·东方朔》：“高山崔巍兮，水流汤汤”。维度降低对称破缺，形成磁矩，导致量子反常霍尔效应。~ 陈数：陈氏拓扑绝缘体，即这里的反铁磁拓扑绝缘体。~ 兰心：贵重之人品，喻指物理人探索世界的赤子精神。