量子模拟外尔半金属
问手征
外尔天生握手征
单极一对两相迎
藏身珠壑谁不应
超导聆听正婉声
1. 引子
我们今天说，拓扑材料新奇物理性质是当今凝聚态物理学的前沿热点，大概不会有多少不同看法。至少我们可以认定，研究相关的拓扑特性，不仅可以拓宽和加深我们对物理世界基本规律的认识，对于研发新型量子器件和量子计算机也有潜在应用前景。
在诸多拓扑材料中，Weyl 半金属作为最基本的拓扑半金属，不需要对称性的保护，近年来受到广泛瞩目和深入研究 [S. Y. Xu et al, Science 349, 613 (2015)]。如图 1 左所示，Weyl 半金属的价带和导带由布里渊区中一些离散的点来连通，电子通过这些点从价带进入导带的低能激发所产生的准粒子是 Weyl 费米子，而这些连通价带和导带的点被称为 Weyl 点。Weyl 半金属的价带产生的 Berry 曲率形成了类似磁力线的向量场，而 Weyl 点正是磁力线的源和漏，可以有效的看作具有量子化单位“磁核”的“磁单极” (如图 1 右所示)。磁核是量子化的，因此不会被系统的微扰改变，所以 Weyl 点具有拓扑稳定性，磁核也称为拓扑荷 (Topological charge)。由于固体的动量空间、也就是第一布里渊区，是一个封闭的周期性空间，具有单位磁核的源和漏总是成对出现的，这就是著名的 Nielsen - Ninomiya No - Go 定理。源和漏处激发出的准粒子分别是具有左手和右手手征的 Weyl 费米子。
所谓手征性，如图 2 所示，反映的是某种几何形态所具有的镜面不对称构型性质。例如，一个物体如果不能与其镜像相重合时，这种物体都可以说存在手征性。如我们的双手，左手与互成镜像的右手不重合。Weyl 费米子具有自旋，如图 2 右所示，左、右手 Weyl 费米子分别会沿着前进方向根据左、右手螺旋旋转。手征性这个概念在凝聚态物理、特别是拓扑量子物理中的形象正在越来越高大。
图1. Weyl 点及其拓扑属性。
图2. 所谓手性的动画式图案，其几何和对称的意义一目了然。
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Weyl 半金属的拓扑性质会导致很多新奇的物理现象，比如表面的费米弧 (Fermi arc)。本文则讨论 Weyl 半金属的手征磁效应 (Chiral magnetic effect, CME)。这一效应的出现，与某种原因导致一对手性相反的 Weyl 点出现能量差有关。此时，左手性和右手性不平衡，引入外加磁场将导致 Weyl 点附近产生正比于磁场强度并沿着磁场方向的拓扑电流，该现象通常被称为凝聚态物理中的手征磁效应。强调凝聚态物理，是因为这个概念一般多见于核物理中夸克-轻子等离子体的形成过程，其中相对论性重离子碰撞过程起主导作用。值得注意的是，手征磁效应是左手和右手 Weyl 点在能动量上分开导致的，与近年来广泛研究的手征反常 (chiral anomaly) 具有本质的区别。比如，Dirac 半金属具有手征反常，但不产生手征磁效应。手征反常是指在平行的电场 E 和磁场 B 的作用下，Weyl 或 Dirac 半金属中产生的左手 (右手) Weyl 费米子会持续转化为右手 (左手) Weyl 费米子。尽管这两种机制在 Weyl 半金属中都存在，但却表现出不同的输运现象。其中一个明显的区别表现为：实现手征反常需要电场 E 和磁场 B 的共同作用，而手征磁效应引起的拓扑电流通常只需要磁场 B 的作用就可以了。
2. 无米之炊
目前，虽然有理论预测，但是手征磁效应却无确凿的实验观测证据来证明，也难以找到一个好的实验系统来展示这一预测的若干特征。时至今日，手征磁效应大多依然停留在理论层面，虽然针对不同体系有一些声称说看到了这种特性。
此时，如果能够在其它量子材料里实现对 Weyl 半金属这一奇特性质的模拟，毫无疑问将是一件非常有意义的事情。事实上，自然界中都难以观察到的手性磁效应，如果要在量子模拟中构建出相应的哈密顿量，并且测量到其中的拓扑性质，也会是相当大的挑战。幸运的是，我们有一些机会。首先，通过理论推导，可知手征磁效应产生的拓扑电流对应于每对 Weyl 点的能量差和外加磁场的乘积。这一结果提示我们，可以另辟蹊径，做无米之炊。炊的出发点是：通过在模拟的哈密顿量中构建出等效“化学势”和磁场的作用，分别对其进行测量，间接得到拓扑电流的大小。这种逻辑也是一种观测和验证。这就好比为了测量电路中的电阻，使用万用表分别测量到电路中的电压和电流，最后通过欧姆定理进行计算得到电阻数值。
实验上，可以选择超导比特作为量子模拟的物理载体。超导量子器件作为人工原子，同时具有可扩展的潜力，当然是量子模拟的有力工具。通过精确控制超导量子比特，实现了一系列拓扑材料能带结构和拓扑特性的模拟再现。在超导量子电路中，使用能带层析技术，可以模拟出拓扑材料的半金属能带。这一基础使得逐步完成对 Weyl 半金属中的手征磁效应模拟和演示成为可能。
3. Weyl 半金属哈密顿
现在来审视一下如何构建一个 Weyl 半金属体系。首先，最能直接反映 Weyl 半金属拓扑态的有两个性质：能带结构和拓扑不变量。熟悉量子模拟的看君会明白，这两个特征可以在量子模拟中分别对其加以测量：
(1) 针对能带，可以构建如图 3 所示的结构。实验中利用超导电路系统作为人工原子，与微波场耦合，模拟出一个描述 Weyl 半金属的两能带模型。然后，将立方晶格的准动量空间精确映射至微波场参数空间，利用超导量子比特的精确调控与测量技术，通过不断调节微波场参数，诸如振幅、频率、相位，测量相应能谱。由此，模拟出 Weyl 半金属第一布里渊区的详细能带结构，如图 4 所示。很显然，在动量空间中，可以直接观测到 4 对手性相反的 Weyl 点。
(2) 对拓扑不变量，可以采用动力学响应方案。通过使系统沿预设路径准绝热演化，利用量子态层析技术，直接得到 Berry 曲率。由此计算出表征各 Weyl 点拓扑性质的拓扑不变量，即所谓卷绕数 (winding number)，如图 4 所示。实验测量的卷绕数近似为 +1 和 -1，并且手性相反的 Weyl 点卷绕数互为相反数，与理论预言相同。
图3. (a) 超导电路系统与微波场耦合模拟 Weyl 半金属哈密顿量。利用 Mollow triplet效应来模拟人工原子系统的势能，从而进一步构建出哈密顿量中 Weyl 点的能量差。
图4. (a) Weyl 半金属能带结构；(b) Weyl 点拓扑不变量。可以看到，正负 Weyl 点的陈数分别为 +1 和 -1。(c) Weyl 半金属向 Dirac 半金属的拓扑相变，从左至右随着模拟哈密顿参数的变化，第一布里渊区的 4 对 Weyl 点逐渐退化为 4 个狄拉克点。
4. 再现手征磁效应
既然已经从能带结构和拓扑数两个方面验证了构造的 Weyl 半金属，现在就可以准备观测 Weyl 半金属的手征磁效应了。
首先，注意到 Weyl 点在动量空间具有不同的位置。利用 Mollow triplet 效应来模拟人工原子的等效势能，可以构建出依赖于准动量的等效“化学势”项，即可造成一对手性相反的 Weyl 点出现能量差。同时，因为 Weyl 半金属低能激发 Weyl 子为相对论性费米子，考虑到正则动量形式，通过 kz位移即可等效引入人工规范磁场。
在上述过程中，需要做的就是控制外加泵浦微波场振幅和频率，使得人工原子在晶格结构中“感觉”到一个等效的势能和磁场。实验示意图和测量结果如图 5 和图 6 所示。在分别对每对Weyl 点的能量差和磁感应强度进行测量后，便可以得到模拟的拓扑电流与其成正比线性关系，与理论预言高度一致，从而利用超导量子电路在实验上演示了Weyl 半金属的手征磁效应。
图5. 通过微波调控产生人工规范场及手征磁效应的示意图，图(a)为模拟外加磁场的矢势A，图(b)为调控每对 Weyl 点的能量差。以此我们可以求得手征磁效应中的拓扑电流。
图6. Weyl 半金属的手征磁效应拓扑电流，实验结果表明了拓扑电流和 Weyl 点能量差和磁感应强度的正比关系。
长期以来，Weyl 半金属的手征磁效应只存在于理论预言中。本文所呈现的结果很显然对凝聚态物理、尤其是 Weyl 半金属物理的研究有意义，同时也为利用超导量子电路探索拓扑材料的物理性质提供了成功范例。这一工作实验部分主要由南京大学物理学院的于扬和谭新生完成，而理论部分主要由香港大学汪子丹和南京大学赵宇心完成。这一工作以“Simulation and Manipulation of Tunable Weyl-Semimetal Bands Using Superconducting Quantum Circuits”为题发表于Physical Review Letters 122, 010501 (2019)上，文章第一作者乃谭新生博士。若看君有意，点击文尾的“阅读原文”御览即可。
备注：
(1) 题头小诗乃Ising添加，借喻外尔半金属中的“手征磁效应”躲在深闺无人应，只好超导模拟声。
(2) 文中得罪和挪喻之语归于Ising，与笔者无关。
(3) 封面图片来自方忠老师的学术演讲ppt，是手征反常的能带图像。
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